2022-2023学年上海师大附属罗店中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）只要求直接填写结果，否则一律得零分.
1．（3分）函数的最小正周期为 ．
2．（3分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ ．
3．（3分）已知sinα＝，则cos2α＝ ．
4．（3分）向量在向量上的投影的坐标为 ．
5．（3分）在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC的形状为 ．
6．（3分）设向量、满足，，且，则＝ ．
7．（3分）已知，则cos（π﹣α）＝ ．
8．（3分）在△ABC中，a＝3，b＝4，面积，则边长c为 ．
9．（3分）将函数y＝3sin（2x﹣π）上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是 ．
10．（3分）函数在x∈（﹣π，0]上的单调递减区间是 ．
11．（3分）在△ABC中，三边a，b，c满足b2＝ac，则B的取值范围是 ．
12．（3分）已知f（x）满足f（x）＝f（x+8），当x∈[0，8]，，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1在x∈[﹣8，8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）“”是“函数f（x）＝cos（x+α）为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（3分）已知P1（﹣4，7），P2（﹣1，0），且点P在线段P1P2的延长线上，且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，11） B． C． D．（2，﹣7）
15．（3分）下列函数中是偶函数，以π为最小正周期，且在上为增函数的是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝|sinx| D．y＝|cosx|
16．（3分）把asinθ+bcosθ（ab≠0）化成时，以下关于辅助角φ的表述中，不正确的是（ ）
A．辅助角φ一定同时满足，
B．满足条件的辅助角φ一定是方程的解
C．满足方程的角x一定都是符合条件的辅助角φ
D．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角φ的终边都重合
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（8分）已知α，β都是锐角，sinα＝，cos（α+β）＝﹣，求β的值．
18．（8分）已知向量＝（1，2），＝（﹣3，2）．
（1）当k为何值时，向量k+与﹣3垂直；
（2）当k为何值时，向量k+与﹣3平行．
19．（10分）如图，我边防巡逻艇在A处测得，北偏东75°相距10海里的B处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在C处准时追上目标．
（1）求我边防巡逻艇的航速；
（2）求我边防巡逻艇的航向角（即∠NAC的大小，精确到0°OO′）．
20．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当f（A）＝0，b＝1，且三角形ABC的面积为时，求a．
21．（14分）对于函数f（x）（x∈D），若存在非零常数T，使得对任意的∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f（x+T）＞f（x）成立，则称函数f（x）为“严格T函数”．
（1）求证：f（x）＝sinx，D＝R是“T函数”；
（2）若函数f（x）＝kx+sin2x是“函数”，求k的取值范围；
（3）对于定义域为R的函数f（x），函数sin（f（x））是奇函数，且对任意的正实数T，f（x）均是“严格T函数”，若，，求a+b的值．2022-2023学年上海师大附属罗店中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）只要求直接填写结果，否则一律得零分.
1．（3分）函数的最小正周期为 π ．
【答案】π
【分析】根据正弦函数的周期求解即可．
【解答】解：由函数，可得函数的最小正周期为π，
故答案为：π．
2．（3分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ （1，0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），
所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
3．（3分）已知sinα＝，则cos2α＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．
【解答】解：因为sinα＝，
所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．
故答案为：．
4．（3分）向量在向量上的投影的坐标为 （3，0） ．
【答案】（3，0）．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，，
则，，
故向量在向量上的投影的坐标为＝（3，0）．
故答案为：（3，0）．
5．（3分）在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC的形状为 等腰三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可．
【解答】解：在△ABC中，∵acosB＝bcosA，
∴由正弦定理得：sinAcosB＝sinBcosA，
∴sin（A﹣B）＝0，
∴A﹣B＝0，
∴A＝B．
∴△ABC的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
6．（3分）设向量、满足，，且，则＝ ．
【答案】
【分析】根据数量积的性质，将向量的模转化为向量的数量积进行运算即可．
【解答】解：∵||＝2，||＝3，＜，＞＝，
∴||＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
7．（3分）已知，则cos（π﹣α）＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求cosα，再用诱导公式求cos（π﹣α）的值．
【解答】解：，所以cosα＝
cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣
故答案为：
8．（3分）在△ABC中，a＝3，b＝4，面积，则边长c为 或 ．
【答案】或．
【分析】由已知条件及三角形面积公式求出sinC，再由平方关系求出cosC，最后由余弦定理求出c．
【解答】解：（1）∵，∴，
∴或，
当cosC＝时，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝9+16﹣2×3×4×＝13，∴c＝；
当cosC＝﹣时，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝9+16﹣2×3×4×（﹣）＝37，∴c＝．
故答案为：或．
9．（3分）将函数y＝3sin（2x﹣π）上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是 ．
【答案】．
【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可．
【解答】解：由于y＝3sin（2x﹣π）＝﹣3sin2x．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为y＝﹣3sinx，
再向左平移个单位，得到的函数解析式为．
故答案为：．
10．（3分）函数在x∈（﹣π，0]上的单调递减区间是 [﹣，﹣] ．
【答案】[﹣，﹣]．
【分析】求出角的范围，利用函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：由x∈（﹣π，0]，得2x∈（﹣2π，0]，
2x+∈（﹣，]，
则当﹣≤2x+≤﹣时，
即﹣≤2x≤﹣，即﹣≤x≤﹣时，f（x）为减函数，
则f（x）的单调递减区间为[﹣，﹣]．
故答案为：[﹣，﹣]．
11．（3分）在△ABC中，三边a，b，c满足b2＝ac，则B的取值范围是 （0，] ．
【答案】（0，]．
【分析】由题意运用余弦定理和基本不等式可得≤cosB＜1，进而可求B的范围．
【解答】解：因为△ABC中，三边a，b，c满足b2＝ac，
所以cosB＝≥＝＝，
即≤cosB＜1，
又因为B∈（0，π），
所以B∈（0，]，即（0，]．
故答案为：（0，]．
12．（3分）已知f（x）满足f（x）＝f（x+8），当x∈[0，8]，，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1在x∈[﹣8，8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 （﹣9，﹣5） ．
【答案】（﹣9，﹣5）．
【分析】由已知可得，f（x）周期是8，然后根据函数周期性，作出函数f（x）在x∈[﹣8，8]上的图象．然后由g（x）＝0可推得，f（x）＝1或f（x）＝﹣a﹣1．根据f（x）＝1根的个数，结合图象，即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：因为f（x）＝f（x+8），所以f（x）为周期是8的周期函数，
作出函数f（x）在x∈[﹣8，8]上的图象，如图所示：
因为g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1＝[f（x）﹣1][f（x）+（a+1）]，
所以由g（x）＝0可得，f（x）＝1或f（x）＝﹣a﹣1．
根据图象可知方程f（x）＝1，有六个实根，
所以f（x）＝﹣a﹣1时，应该有两个实根，
根据图象可得，4＜﹣a﹣1＜8，得﹣9＜a＜﹣5，
即实数a的取值范围为（﹣9，﹣5）．
故答案为：（﹣9，﹣5）．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）“”是“函数f（x）＝cos（x+α）为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：α＝时，函数f（x）＝cos（x+α）＝﹣sinx，是定义域R上的奇函数，充分性成立；
函数f（x）＝cos（x+α）是奇函数时，α＝kπ+，k∈Z，所以必要性不成立；
所以α＝是函数f（x）＝cos（x+α）的充分不必要条件．
故选：A．
14．（3分）已知P1（﹣4，7），P2（﹣1，0），且点P在线段P1P2的延长线上，且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，11） B． C． D．（2，﹣7）
【答案】D
【分析】设P（m，n），可得、关于m、n的坐标形式，根据题意得，由此建立关于m、n的方程组，解之即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵P在线段P1P2的延长线上，且，
∴，
∵P1（﹣4，7），P2（﹣1，0），
∴设P（m，n），可得＝（m+4，n﹣7），＝（﹣1﹣m，﹣n）
由此可得，解之得m＝﹣2，n＝﹣7
所以点P的坐标为（2，﹣7）．
故选：D．
15．（3分）下列函数中是偶函数，以π为最小正周期，且在上为增函数的是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝|sinx| D．y＝|cosx|
【答案】C
【分析】由已知结合正弦及余弦函数的奇偶性，单调性及周期性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：A：y＝sinx为奇函数，不符合题意；
B：y＝cosx在（0，）上单调递减，不符合题意；
C：y＝|sinx|为偶函数，最小正周期为π，当0时，y＝|sinx|＝sinx单调递增，C正确；
D：y＝|cosx|为偶函数，当0时，y＝|cosx|＝cosx单调递减，D错误．
故选：C．
16．（3分）把asinθ+bcosθ（ab≠0）化成时，以下关于辅助角φ的表述中，不正确的是（ ）
A．辅助角φ一定同时满足，
B．满足条件的辅助角φ一定是方程的解
C．满足方程的角x一定都是符合条件的辅助角φ
D．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角φ的终边都重合
【答案】C
【分析】A：根据两角和的正弦公式可得：，．
B：由，可得，故B正确．
C：满足方程的角x＝kπ+φ，而其中一部分不是φ的取值．
D：由，可得所以满足条件的辅助角φ的终边都重合并且周期为2π．
【解答】解：A：因为把asinθ+bcosθ（ab≠0）化成，所以根据两角和的正弦公式可得：，，所以A正确．
B：因为，，所以，所以满足条件的辅助角φ一定是方程的解，故B正确．
C：因为满足方程的角x＝kπ+φ，而其中一部分不是φ的取值，是与φ的终边在一条直线上的角，所以C错误．
D：因为，，所以满足条件的辅助角φ的终边都重合并且周期为2π，所以D正确．
所以不正确的只有C．
故选：C．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（8分）已知α，β都是锐角，sinα＝，cos（α+β）＝﹣，求β的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用角的范围求出相关的三角函数值，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．
【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα＝，cos（α+β）＝﹣，
∴cosα＝，sin（α+β）＝，
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
＝．
∵β是锐角，∴．
18．（8分）已知向量＝（1，2），＝（﹣3，2）．
（1）当k为何值时，向量k+与﹣3垂直；
（2）当k为何值时，向量k+与﹣3平行．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出k的值；
（2）根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出k的值．
【解答】解：向量＝（1，2），＝（﹣3，2），
则k+＝（k﹣3，2k+2），﹣3＝（10，﹣4）；
（1）当向量k+与﹣3垂直时，（k+） （﹣3）＝0，
即10（k﹣3）﹣4（2k+2）＝0，
解得k＝19；
即k＝19时，两向量垂直；
（2）当向量k+与﹣3平行时，
﹣4（k﹣3）﹣10（2k+2）＝0，
解得k＝﹣；
即k＝﹣时，两向量平行．
19．（10分）如图，我边防巡逻艇在A处测得，北偏东75°相距10海里的B处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在C处准时追上目标．
（1）求我边防巡逻艇的航速；
（2）求我边防巡逻艇的航向角（即∠NAC的大小，精确到0°OO′）．
【答案】（1）28海里/小时；
（2）北偏东97°．
【分析】通过分析题意，将巡逻艇的初始位置设为坐标原点，由题设条件可得AB＝10，BC＝6，∠ABC＝75°+45°＝120°，根据余弦定理及其推论即可求出AC和∠BAC．
【解答】解：（1）如图，由题意，∠NAB＝75°，∠ABC＝75°+45°＝120°，AB＝10，
又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点C，故BC＝6．
在△ABC中，由余弦定理，
有AC2＝AB2+BC2﹣2AB．BC．cos∠ABC
＝102+62﹣2×＝196，
∴AC＝14，又14÷0.5＝28，
故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时；
（2）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝14，
则由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝≈0.9286，
∴∠BAC≈22°，
∴∠NAC＝75°+22°≈97°，
即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东97°．
20．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当f（A）＝0，b＝1，且三角形ABC的面积为时，求a．
【答案】（1）[，]，k∈Z；
（2）．
【分析】（1）先将原函数化为f（x）＝2sin（2x+）的形式，再利用正弦函数的单调性、复合函数单调性的性质求解；
（2）据题意，求出A＝，再结合面积公式求出c的值，最后利用余弦定理求出a．
【解答】解：（1）f（x）＝＝2sin（2x），
要求f（x）的单调增区间，只需≤+2kπ，k∈Z，
解得≤x≤，k∈Z，
故函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．
（2）由已知得f（A）＝2sin（2A+）＝0，结合A为锐角，
，解得A＝，
又b＝1，且三角形ABC的面积为，故＝，
解得c＝4，所以a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+42﹣2×1×4×＝13，
故a＝．
21．（14分）对于函数f（x）（x∈D），若存在非零常数T，使得对任意的∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f（x+T）＞f（x）成立，则称函数f（x）为“严格T函数”．
（1）求证：f（x）＝sinx，D＝R是“T函数”；
（2）若函数f（x）＝kx+sin2x是“函数”，求k的取值范围；
（3）对于定义域为R的函数f（x），函数sin（f（x））是奇函数，且对任意的正实数T，f（x）均是“严格T函数”，若，，求a+b的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）0．
【分析】（1）取T＝2π，由题目中的定义，即可证得f（x+2π）≥f（x）；
（2）由题意得，整理得，由余弦函数的值域，即可求出k的范围；
（3）由题意得出f（x）在R上为增函数，设g（x）＝sin（f（x）），得出g（x）为R上的奇函数，由奇函数的对称性及g（a）和g（b）的值，即可得出a+b的值．
【解答】（1）证明：取非零常数T＝2π，
对任意的x∈R，f（x+2π）＝sin（x+2π）＝sinx，∵sinx≥sinx，
即f（x+2π）≥f（x），，D＝R是“2π函数”．
（2）解：∵函数f（x）＝kx+sin2x是“函数”，D＝R，，
即，整理得，，
∵﹣cos2x∈[﹣1，1]，∴，即，
故．
（3）解：∵对任意x∈R，对任意的正实数T，都有f（x+T）＞f（x），∴f（x）在R上为增函数，
设g（x）＝sin（f（x）），∵函数sin（f（x））是奇函数，为R上的奇函数，即g（x）图像关于原点对称，
∵，，，g（b）＝sin（f（b））＝﹣1，
∵g（a）+g（b）＝0，．
