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第一章
集合与常用逻辑用语
p q
充分必要
充要
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（七）
谢谢观看！1.4.2 充要条件
[学习目标] 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
知识点 充要条件
[问题导引] 下列“若p，则q”的命题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
(1)p：两直线平行，q：同位角相等；
(2)p：a>b，q：a＋c>b＋C．
提示： p q，故p是q的充分条件，又q p，故p也是q的必要条件．
命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题
推出关系 既有p q，又有q p，记作p q
条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件
名称 p是q的充分必要条件，简称为充要条件
“x＝0”是“x2＝0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
D [因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．]
即时练1.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( )
A．x<0，y<0 B．x<0，y>0
C．x>0，y>0 D．x>0，y<0
B [P(x，y)要满足第二象限，则x<0，y>0.]
应用1 充要条件的判断
(链接教材P21例3)判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3；
(2)p：△ABC中，AB>AC，q：△ABC中，∠C>∠B；
(3)p：A B，q：A∪B＝B；
(4)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．
解析： (1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件．
(3)若A B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A B，故p是q的充要条件．
(4)若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不必要条件．
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
即时练2.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
(2)“ax＋1>0的解集是 R”是“0≤a<4”的________．
解析： (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，∴A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)∵ax＋1>0的解集是R，∴a＝0.
a＝0 0≤a<4，0≤a<4 / a＝0，
∴“ax＋1>0的解集是R”是“0≤a<4”的充分不必要条件．
答案： (1)充要条件 (2)充分不必要条件
应用2 充要条件的证明
(链接教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bC．(这里a，b，c是△ABC的三边边长)
证明： 必要性：
因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，
所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立；
充分性：
由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立．
综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bC．
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
[提醒] 证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
即时练3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明： ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
创新题型 充分、必要、充要条件的应用
在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
解析： 由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}．
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0
所以存在a，a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的A．
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
即时练4.已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的充要条件？
解析： (1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|1≤x≤a}?{x|1≤x≤2}，所以1≤a<2.所以当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件．
(2)因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2.
所以当a＝2时，p是q的充要条件．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．故选A．]
2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [a＝1 N M，N M a2＝1或2，所以N M / a＝1.故“a＝1”是“N M”的充分不必要条件．]
3．二次函数y＝x2－2mx＋1的对称轴方程是x＝5的充要条件是m＝________．
解析： y＝x2－2mx＋1的对称轴方程是x＝m，所以m＝5.
答案： 5
4．在下列各题中，判断p是q的什么关系？请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”解答．
(1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(2)p：“a＋b<0且ab>0”，q：“a<0且b<0”．
解析： (1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1” 是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件．
(2)因为a＋b<0且ab>0，所以a，b同号且都是负数．
即a＋b<0且ab>0 a<0且b<0.
因为a<0且b<0，所以a＋b<0，ab>0.
即a<0且b<0 a＋b<0且ab>0.
所以a＋b<0且ab>0是a<0且b<0的充要条件．
即p是q的充要条件．
课时作业(七) 充要条件
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．]
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，x(y－2)＝0成立．反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B．]
3．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab>0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
D [a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.]
4．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
BD [由题知，电路图A中，开关S闭合，灯光L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．]
5．(2021·浙江嘉兴海宁高一期中)设集合A＝{x|0解析： 由条件知AB，故“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案： 充分不必要条件
6．若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析： 依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是a≤6.
答案： a≤6
7．在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”，回答).
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形．
(2)p：a，b至少有一个不为零；q：a2＋b2>0.
(3)p：a＋1>b；q：a>B．
(4)p：－5x2ym与xny是同类项；q：m＋n＝3.
解析： (1)由题意得，p q，q p，所以p是q的充分不必要条件；
(2)若a，b至少有一个不为零，则a2，b2至少有一个大于零，所以a2＋b2>0，反之由a2＋b2>0也可推出a，b至少有一个不为零，所以p q，所以p是q的充要条件．
(3)p：a＋1>b，q：a>b，因为a＋1>a，所以q p，p q，所以p是q的必要不充分条件．
(4)若－5x2ym与xny是同类项，则m＝1，n＝2，所以m＋n＝3，当m＋n＝3时，－5x2ym与xny不一定是同类项，所以p q，qp，所以p是q的充分不必要条件．
[能力提升]
8．若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [∵A是B的充分条件，∴A B ①.∵D是C的必要条件，∴C D ②.∵C是B的充要条件，
∴C B ③.由①③得A C ④，由②④得A D，
∴D是A的必要条件．故选B．]
9．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
ABD [A正确．Δ＝b2－4ac≥0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
B正确．Δ＝b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
C错误．Δ＝b2－4ac>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
D正确．Δ＝b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根．]
10．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．
解析： 若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立；
反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5，但与x＝2且y＝3不成立，即p q，q / p，故p是q的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
11．已知集合A＝{x|a－2解析： A∩B＝ 0≤a≤2.
答案： {a|0≤a≤2}
12．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解析： (1)M∩P＝{x|5(2)若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
知识点 充要条件
下列“若p，则q”的命题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
(1)p：两直线平行，q：同位角相等；
(2)p：a>b，q：a＋c>b＋C．
提示： p q，故p是q的充分条件，又q p，故p也是q的必要条件．
命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题
推出关系 既有p q，又有q p，记作p q
条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件
名称 p是q的充分必要条件，简称为充要条件
“x＝0”是“x2＝0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
即时练1.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( )
A．x<0，y<0 B．x<0，y>0
C．x>0，y>0 D．x>0，y<0
应用1 充要条件的判断
(链接教材P21例3)判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3；
(2)p：△ABC中，AB>AC，q：△ABC中，∠C>∠B；
(3)p：A B，q：A∪B＝B；
(4)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
即时练2.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
(2)“ax＋1>0的解集是 R”是“0≤a<4”的________．
应用2 充要条件的证明
(链接教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bC．(这里a，b，c是△ABC的三边边长)
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
即时练3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
创新题型 充分、必要、充要条件的应用
在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
即时练4.已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的充要条件？
(2)因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2.
所以当a＝2时，p是q的充要条件．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．二次函数y＝x2－2mx＋1的对称轴方程是x＝5的充要条件是m＝________．
4．在下列各题中，判断p是q的什么关系？请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”解答．
(1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(2)p：“a＋b<0且ab>0”，q：“a<0且b<0”．
(2)因为a＋b<0且ab>0，所以a，b同号且都是负数．
课时作业(七) 充要条件
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab>0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
4．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
5．(2021·浙江嘉兴海宁高一期中)设集合A＝{x|06．若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
7．在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”，回答).
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形．
(2)p：a，b至少有一个不为零；q：a2＋b2>0.
(3)p：a＋1>b；q：a>B．
(4)p：－5x2ym与xny是同类项；q：m＋n＝3.
8．若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
10．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．
11．已知集合A＝{x|a－212．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．]
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，x(y－2)＝0成立．反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B．]
3．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab>0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
D [a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.]
4．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
BD [由题知，电路图A中，开关S闭合，灯光L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．]
5．(2021·浙江嘉兴海宁高一期中)设集合A＝{x|0解析： 由条件知AB，故“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案： 充分不必要条件
6．若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析： 依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是a≤6.
答案： a≤6
7．在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”，回答).
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形．
(2)p：a，b至少有一个不为零；q：a2＋b2>0.
(3)p：a＋1>b；q：a>B．
(4)p：－5x2ym与xny是同类项；q：m＋n＝3.
解析： (1)由题意得，p q，q p，所以p是q的充分不必要条件；
(2)若a，b至少有一个不为零，则a2，b2至少有一个大于零，所以a2＋b2>0，反之由a2＋b2>0也可推出a，b至少有一个不为零，所以p q，所以p是q的充要条件．
(3)p：a＋1>b，q：a>b，因为a＋1>a，所以q p，p q，所以p是q的必要不充分条件．
(4)若－5x2ym与xny是同类项，则m＝1，n＝2，所以m＋n＝3，当m＋n＝3时，－5x2ym与xny不一定是同类项，所以p q，qp，所以p是q的充分不必要条件．
[能力提升]
8．若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [∵A是B的充分条件，∴A B ①.∵D是C的必要条件，∴C D ②.∵C是B的充要条件，
∴C B ③.由①③得A C ④，由②④得A D，
∴D是A的必要条件．故选B．]
9．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
ABD [A正确．Δ＝b2－4ac≥0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
B正确．Δ＝b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
C错误．Δ＝b2－4ac>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
D正确．Δ＝b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根．]
10．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．
解析： 若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立；
反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5，但与x＝2且y＝3不成立，即p q，q / p，故p是q的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
11．已知集合A＝{x|a－2解析： A∩B＝ 0≤a≤2.
答案： {a|0≤a≤2}
12．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解析： (1)M∩P＝{x|5(2)若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab>0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
4．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
5．(2021·浙江嘉兴海宁高一期中)设集合A＝{x|06．若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
7．在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”，回答).
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形．
(2)p：a，b至少有一个不为零；q：a2＋b2>0.
(3)p：a＋1>b；q：a>B．
(4)p：－5x2ym与xny是同类项；q：m＋n＝3.
8．若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
10．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．
11．已知集合A＝{x|a－212．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5