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第一章
集合与常用逻辑用语
所有的
任意一个
全称
任意一个
x∈M
存在一个
至少有一个
存在
存在
x∈M
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（八）
谢谢观看！
经证明为真或
与性质、定理
真命题
含全称
全称量
等相符
量词
词命题
判断命题类型
可举一反例
假命题
可找到使结论
真命题
含存在
成立的例子
存在量
量词
词命题
找不到使结论
成立的例子
假命题1．5.1 全称量词与存在量词
[学习目标] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识点一 全称量词与全称量词命题
[实例] 观察下面的两个语句，
P：x≤3；
Q：对所有的x∈R，x≤3.
[问题导引] 上述两个语句都是命题吗？两者之间有什么关系？
提示： 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q的一部分．
全称量词与全称量词命题
全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示
全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立
符号表示 x∈M，p(x)
[点拨] (1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
(2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．
下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2) x∈R，x2>0；
(3)矩形的对角线相等．
解析： (1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题．
(2)是，有全称量词“ ”，假命题．
(3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题．
(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．
(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可．
即时练1.下列语句既是命题又是全称量词命题的是________．
(1)对任意实数x，x2＋1≥2；
(2)有一个实数a，a不能取对数．
解析： (1)(2)是命题，其中(1)中含有全称量词，所以是全称量词命题．
答案： (1)
即时练2.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________________．
解析： 命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意xy∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案： 对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
知识点二 存在量词与存在量词命题
[实例] 观察下面的两个语句：
(1)存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
(2)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
[问题导引1] 上述两个语句是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示： 是，都为真命题．
[问题导引2] 你还能写出一些与上述两个语句具有相同意义的词语吗？
提示： 某些，有的，有些．
存在量词与存在量词命题
存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示
存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立
符号表示 x∈M，p(x)
[点拨] (1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
(链接教材P28例2)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的集合中存在两个相同的元素．
(2) a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
(3)存在一个x∈R，使＝0.
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B．
解析： (1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．
(2)是全称量词命题， a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题．
(3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B，是真命题．
全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断
即时练3.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为____________．
解析： “有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述．
答案： x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0
依据含量词命题的真假求参数的取值范围(值)
已知命题p： x∈R，x2＋x＋2－a<0为真命题，求实数a的取值范围．
解析： 因为命题p为真命题，且二次函数y＝x2＋x＋2－a的图象是开口向上的抛物线，因此该抛物线与x轴一定有两个交点，故二次函数对应的方程有两个实数根，则Δ＝1－4(2－a)>0，解得a>.
即实数a的取值范围为.
[一题多变]
1．(变条件)本题中的条件改为： x∈R，x2＋x＋2－a＝0，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解析： 因为p为真命题，因此方程x2＋x＋2－a＝0有实数根，则Δ＝1－4(2－a)≥0，解得a≥.
即实数a的取值范围为．
2．(变条件)本例中的条件改为“ x∈R，x2＋x＋2－a>0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解析： 法一：因为p为真命题，则函数y＝x2＋x＋2－a的图象恒在x轴上方，又x2＋x＋2－a＝＋－a，则－a>0，故a<.
即实数a的取值范围为.
法二：由于 x∈R，x2＋x＋2－a>0恒成立，则Δ＝1－4(2－a)<0，解得a<.
即实数a的取值范围为.
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式知识解决．
即时练4.若对任意x>3，有x>a恒成立，则a的取值范围是________．
解析： 由于对任意x>3，有x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
答案： {a|a≤3}
即时练5.若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析： 当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．
答案： {m|m≤5}
1．(2021·河北沧州七校联盟高一(上)期中考试)下列命题是全称量词命题的是( )
A．有一个偶数是质数
B．至少存在一个奇数能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是360°
D [因为“每个”是全称量词，故选D．]
2．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x3＝3 B． x∈R，3x＋1是整数
C． x∈R，|x|>3 D． x∈Q，x2∈Z
AB [A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，|x|<3；D是假命题，如x＝，x2 Z.]
3．若存在x∈{x|x>0}，使方程x－a＝0有解是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析： 由x－a＝0知a∈{x|x>0}，因此a>0.
答案： {a|a>0}
4．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交．
解析： (1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝＋>0.所以该命题为假命题．
(2)全称量词命题，如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题．
课时作业(八) 全称量词与存在量词
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列命题中是存在量词命题的是( )
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
B [A含有全称量词 ，为全称量词命题；B含有存在量词 ，为存在量词命题，满足条件，C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B．]
2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A． x∈Q，有x∈P B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P D． x∈P，使得x Q
B [∵P∩Q＝P，∴P Q，如图，
∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．]
3．(多选)下列命题是“ x∈R，x2>3”的表述方法的有( )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
ABD [C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选ABD．]
4．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
CD [当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．故选CD．]
5．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，是一个____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用量词形式可写为____________________．
解析： 因为这个公式对所有实数a，b都成立，
因此是一个全称量词命题，可改写为“ a，b∈R，(a＋b)(a－b)＝a2－b2”．
答案： 全称量词命题 a，b∈R，(a＋b)(a－b)＝a2－b2
6．“存在x∈{x|x≤a}，x2＝1”是假命题，则a的取值范围是____________．
解析： 依题意x2＝1在集合{x|x≤a}内无解，因此结合x2＝1的解为－1和1知，这两个元素不在集合{x|x≤a}内，故a<－1.
答案： {a|a<－1}
7．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
解析： (1) a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．
(2) x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．
(3) m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(4) x∈R，使x2＋x＋4≤0，x2＋x＋4＝＋>0恒成立，所以为假命题．
[能力提升]
8．下列说法正确的是( )
A．对所有正实数t，有
B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
B [t＝时， >t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．]
9．已知“ x∈{x|0≤x≤2}，m>x”和“ x∈{x|0≤x≤2}，n>x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n>2
C．m>2，n>0 D．m>2，n>2
C [由“ x∈{x|0≤x≤2}，m>x”是真命题，可得m>2；由“ x∈{x|0≤x≤2}．n>x”是真命题，可得n>0.]
10．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．
解析： 命题①②显然为真命题；③由于对于 x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立，故③为假命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故④为假命题．
答案： ①②
11．若命题“ x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析： 当a≤0时，显然存在x>1，使ax－3<0；
当a>0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3<0，得a<3，故0综上所述，实数a的取值范围是{a|a<3}．
答案： {a|a<3}
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解析： (1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
所以
解得2≤m≤3.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤3}．
(2)q为真，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，
所以m≥2，
则m＋1≥3.
所以
解得2≤m≤4.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}．1．5.1 全称量词与存在量词
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识点一 全称量词与全称量词命题
观察下面的两个语句，
P：x≤3；
Q：对所有的x∈R，x≤3.
上述两个语句都是命题吗？两者之间有什么关系？
提示： 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q的一部分．
全称量词与全称量词命题
全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示
全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立
符号表示 x∈M，p(x)
(1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
(2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．
下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2) x∈R，x2>0；
(3)矩形的对角线相等．
(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．
(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可．
即时练1.下列语句既是命题又是全称量词命题的是________．
(1)对任意实数x，x2＋1≥2；
(2)有一个实数a，a不能取对数．
即时练2.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________________．
知识点二 存在量词与存在量词命题
观察下面的两个语句：
(1)存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
(2)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
上述两个语句是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示： 是，都为真命题．
你还能写出一些与上述两个语句具有相同意义的词语吗？
提示： 某些，有的，有些．
存在量词与存在量词命题
存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示
存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立
符号表示 x∈M，p(x)
(1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
(链接教材P28例2)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的集合中存在两个相同的元素．
(2) a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
(3)存在一个x∈R，使＝0.
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B．
全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断
即时练3.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为____________．
依据含量词命题的真假求参数的取值范围(值)
已知命题p： x∈R，x2＋x＋2－a<0为真命题，求实数a的取值范围．
1．(变条件)本题中的条件改为： x∈R，x2＋x＋2－a＝0，其他条件不变，求实数a的取值范围．
2．(变条件)本例中的条件改为“ x∈R，x2＋x＋2－a>0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式知识解决．
即时练4.若对任意x>3，有x>a恒成立，则a的取值范围是________．
即时练5.若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
1．(2021·河北沧州七校联盟高一(上)期中考试)下列命题是全称量词命题的是( )
A．有一个偶数是质数
B．至少存在一个奇数能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是360°
2．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x3＝3 B． x∈R，3x＋1是整数
C． x∈R，|x|>3 D． x∈Q，x2∈Z
3．若存在x∈{x|x>0}，使方程x－a＝0有解是真命题，则实数a的取值范围是________．
4．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交．
课时作业(八) 全称量词与存在量词
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列命题中是存在量词命题的是( )
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A． x∈Q，有x∈P B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P D． x∈P，使得x Q
3．(多选)下列命题是“ x∈R，x2>3”的表述方法的有( )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
4．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
5．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，是一个____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用量词形式可写为____________________．
6．“存在x∈{x|x≤a}，x2＝1”是假命题，则a的取值范围是____________．
7．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
8．下列说法正确的是( )
A．对所有正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
9．已知“ x∈{x|0≤x≤2}，m>x”和“ x∈{x|0≤x≤2}，n>x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n>2
C．m>2，n>0 D．m>2，n>2
10．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．
11．若命题“ x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．课时作业(八) 全称量词与存在量词
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列命题中是存在量词命题的是( )
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
B [A含有全称量词 ，为全称量词命题；B含有存在量词 ，为存在量词命题，满足条件，C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B．]
2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A． x∈Q，有x∈P B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P D． x∈P，使得x Q
B [∵P∩Q＝P，∴P Q，如图，
∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．]
3．(多选)下列命题是“ x∈R，x2>3”的表述方法的有( )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
ABD [C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选ABD．]
4．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
CD [当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．故选CD．]
5．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，是一个____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用量词形式可写为____________________．
解析： 因为这个公式对所有实数a，b都成立，
因此是一个全称量词命题，可改写为“ a，b∈R，(a＋b)(a－b)＝a2－b2”．
答案： 全称量词命题 a，b∈R，(a＋b)(a－b)＝a2－b2
6．“存在x∈{x|x≤a}，x2＝1”是假命题，则a的取值范围是____________．
解析： 依题意x2＝1在集合{x|x≤a}内无解，因此结合x2＝1的解为－1和1知，这两个元素不在集合{x|x≤a}内，故a<－1.
答案： {a|a<－1}
7．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
解析： (1) a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．
(2) x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．
(3) m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(4) x∈R，使x2＋x＋4≤0，x2＋x＋4＝＋>0恒成立，所以为假命题．
[能力提升]
8．下列说法正确的是( )
A．对所有正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
B [t＝时， >t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．]
9．已知“ x∈{x|0≤x≤2}，m>x”和“ x∈{x|0≤x≤2}，n>x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n>2
C．m>2，n>0 D．m>2，n>2
C [由“ x∈{x|0≤x≤2}，m>x”是真命题，可得m>2；由“ x∈{x|0≤x≤2}．n>x”是真命题，可得n>0.]
10．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．
解析： 命题①②显然为真命题；③由于对于 x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立，故③为假命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故④为假命题．
答案： ①②
11．若命题“ x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析： 当a≤0时，显然存在x>1，使ax－3<0；
当a>0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3<0，得a<3，故0综上所述，实数a的取值范围是{a|a<3}．
答案： {a|a<3}
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解析： (1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
所以
解得2≤m≤3.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤3}．
(2)q为真，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，
所以m≥2，
则m＋1≥3.
所以
解得2≤m≤4.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}．课时作业(八) 全称量词与存在量词
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列命题中是存在量词命题的是( )
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A． x∈Q，有x∈P B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P D． x∈P，使得x Q
3．(多选)下列命题是“ x∈R，x2>3”的表述方法的有( )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
4．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
5．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，是一个____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用量词形式可写为____________________．
6．“存在x∈{x|x≤a}，x2＝1”是假命题，则a的取值范围是____________．
7．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
(4) x∈R，使x2＋x＋4≤0，x2＋x＋4＝＋>0恒成立，所以为假命题．
8．下列说法正确的是( )
A．对所有正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
9．已知“ x∈{x|0≤x≤2}，m>x”和“ x∈{x|0≤x≤2}，n>x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n>2
C．m>2，n>0 D．m>2，n>2
10．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．
11．若命题“ x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．