山西省朔州市怀仁市第一中学2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题（Word版含解析）

怀仁市第一中学2023-2024学年高三上学期开学摸底考试
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5. 本卷主要考查内容：高考范围.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则它的共轭复数的虚部为（ ）
A. －2 B. －1 C. i D. 1
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 在圆C：的圆周上及内部所有的整点（横坐标，纵坐标均为整数的点）中任意取两个点，则这两个点在坐标轴上的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，，线段与双曲线C的左支相交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 从1，2，3，…，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ）
A. “三个都为偶数”和“三个都为奇数” B. “至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C. “至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D. “一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
10. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为偶函数 B.
C. D. 函数的图象的对称轴方程为
11. 已知函数，若有6个不同的零点分别为，，，，，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 的取值范围为
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，的取值范围为
12. 如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线AB与CD为异面直线 B.
C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ______.
14. 设随机变量X服从正态分布，若，则______.
15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点（点A在x轴的上方），则______.
16. 已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，，则数列的前35项和为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等比数列前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求的值；
（2）如图，D为AB上的一点，且，若，B为锐角，求，的值.
19.（本小题满分12分）
疫情过后，某工厂快速恢复生产，该工厂生产所需要的材料价钱较贵，所以工厂一直设有节约奖，鼓励节约材料，在完成生产任务的情况下，根据每人节约材料的多少到月底发放，如果1个月节约奖不少于1000元，为“高节约奖”，否则为“低节约奖”，在该厂工作满15年的为“工龄长工人”，不满15年的为“工龄短工人”，在该厂的“工龄长工人”中随机抽取60人，当月得“高节约奖”的有20人，在“工龄短工人”中随机抽取80人，当月得“高节约奖”的有10人.
（1）若以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，在该厂的“工龄长工人”中任选取5人，估计下个月得“高节约奖”的人数不少于3人的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关.
参考数据：附表及公式：，
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，，，，二面角为钝角，三棱锥的体积为.
（1）求二面角的大小；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.
22.（本小题满分12分）
已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.
怀仁市第一中学2023-2024学年高三上学期开学摸底考试
数学
参考答案
1. D 由，可得，所以它的共轭复数的虚部为1.故选D.
2. C 由题意可知，所以，
又由，所以，所以.故选C.
3. C 当，，时，m，n可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当，时，，可以平行，也可以相交，所以④不正确；若，，则；若，，，则.故正确命题的序号是②③.
4. A 由，可得函数为奇函数，可排除B，D选项，又由，可排除C选项，可知答案为A.
5. B 由题意有，可得，解得，可得，故向量，的夹角的大小为.
6. D 画图可知共有5个整点，分别为，，，，，有3个点在坐标轴上，记为P，Q，R，另外两个记为M，N.5个点中任取两个包括的基本事件为，，，，，，，，，，共10个，两个点在坐标轴上包括，，，共3个基本事件，则这两个点在坐标轴上的概率为.
7. B 当时，，令，
依题意，则图象在图象上方，
由，得，
则的解集为.
8. C 设，，双曲线C的焦距为2c，由双曲线的定义可知，.在中，有，可得，解得，可得，.在中，有，可得，解得，可得双曲线C的离心率.
9. AD 从1~9中任取三数，按这三个数的奇偶性分类，有四种情况，（1）三个均为奇数；（2）两个奇数一个偶数；（3）一个奇数两个偶数；（4）三个均为偶数，所以AD是互斥但不是对立事件，C是对立事件，B不是互斥事件.故选：AD.
10. ACD 由，函数为偶函数，可得，令，，可得，.可知选项为ACD.
11. AC 当时，，此时，可得在上单调递减，在上单调递增，且，，∴当时，，由有6个不同的零点，等价于有6个不同的实数根，解得或，∵，∴若，可得，而当时，，可得，而；当时，，可得，而，故的范围为的子集，的取值范围不可能为，故B选项错误；
该方程有6个根，且，知且，
当时，，
，联立解得，
，
当时，，
，联立解得.
.
12. ABD 由异面直线的定义知A选项正确；在中，，可知B选项正确；如图，取BC的中点E，在AE上取点，使得，取BD的中点G，并延长CG到点，使得，，，可知C选项错误；记O为三棱锥的外接球的球心，连接，，，并延长，相交于点F.由，可知为等边三角形，又由，可知为的外心.由，，，可得，又由，可得，都为等边三角形，可得，可得为的外心.可得，，可知为二面角的平面角，可得.由，可得，，，在中，，，可得，，由，在中，可得，在中，，可得三棱锥的外接球的表面积为，可知D选项正确.
13. .
14. 0.75 因为，所以所对应的正态曲线关于对称，
因为，所以，
所以.
15. 设，，由可得直线AB的方程为，联立方程后整理为，解得，，且有.由抛物线的定义，有.
16. 397 因为，所以，，令，
则，，，，，，，…，，，，
所以，，，，，，，…，，，，
所以数列前35项的和为.
故答案为：397.
17. 解：（1）因为，①
所以，②……1分
①－②得，即，……3分
则为等比数列，且公比，……4分
因为，所以.……5分
（2）由（1）可得，，③……6分
，④……7分
③－④得，……9分
故.……10分
18. 解：（1）可化为，……2分
由余弦定理得，……4分
∵，∴；……5分
（2）设，由可得，
在中，由正弦定理得，有，可得，……7分
在中，由正弦定理得，可得，
可得，有，
又，有，……9分
又由B为锐角，有，有，可得，
又由，可得，有，……11分
又由，有，可得，即.……12分
19. 解：（1）以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，每个“工龄长工人”得“高节约奖”的概率为，……1分
5人中，恰有3人得“高节约奖”概率为，……2分
恰有4人得“高节约奖”概率为，……3分
5人都得“高节约奖”概率为，……4分
所求概率为；……6分
（2）列出列联表如下：
“高节约奖” “低节约奖” 合计
“工龄长工人” 20 40 60
“工龄短工人” 10 70 80
合计 30 110 140
……8分
零假设：得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关，
，……11分
根据小概率值的独立性检验，得“高节约奖”与工人工作满15年有关.……2分
20. 解：（1）如图，取AC的中点O，AB的中点D，连接OD，过点P作DO的延长线的垂线，垂足为H.……1分
∵，，，，
∴和都为等腰直角三角形，，，
∵，，∴OD为的中位线，
∴，，……2分
∵，，∴，
∵，∴，
∵，，，OD，平面ODP，∴平面ODP，
∵平面ODP，平面ODP，∴，……4分
∵，，，OH，平面ABC，∴平面ABC，
∵，平面ABC，三棱锥的体积为，
∴，∴.……5分
∵，∴，
∴为等腰直角三角形，可得，，
∵，，∴为二面角的平面角，
∴二面角的大小为；……6分
（2）由（1）可知，平面ABC，以OA，OD和过点O作HP的平行线的方向分别为x，y，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
∴，，，……8分
设平面PBC的法向量为，则，
即，令，则，，∴，……10分
∴，，，
则，
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.……12分
21. 解：（1）设，由，有……1分
又由，有（O为坐标原点），可得，，
可得椭圆E的方程为，……3分
代入点N的坐标，有，解得，
故椭圆E的标准方程为；……4分
（2）①当直线AB的斜率不存在或为0时，为长轴长或，
不妨设，，
故；……5分
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：，，，
联立方程，消去y得，
则，，……6分
所以
，
同理可得，……8分
所以，……9分
因为，
当且仅当，即时等号成立，……11分
所以，而，
综上：四边形ACBD的面积的最小值为.……12分
22. 解：（1）函数的定义域为，
.……2分
①当时，由，有，令，可得，
可得函数的减区间为，增区间为；
②当时，，
可得函数单调递增，单调递增区间为，无单调减区间；……3分
③当时，，令，可得，
可得函数的减区间为，增区间为，；……4分
④当时，，令，可得，
可得函数的减区间为，增区间为，；……5分
（2） .
由（1）可知：
①当时，由函数的减区间为，增区间为，有，函数没有零点，不合题意；……6分
②当时，函数单调递增，函数最多只有一个零点，不合题意；……7分
③当时，函数的减区间为，增区间为，，
由，函数最多只有一个零点，不合题意；……8分
④当时，函数的减区间为，增区间为，.
由，若函数有且仅有3个零点，必需，……9分
令，有，
令，有，
可得函数单调递增，有，
可得函数单调递增，又由，
故满足不等式的a的取值范围为.……11分
又由，可得当时，，
又由，，，可得函数有且仅有3个零点.
由上知，若函数有且仅有3个零点，实数a的取值范围为.……12分