【轻松备课-人教版九上】22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课件

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22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第二十二章 二次函数
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课堂小结
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
学习目标
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.
1.已知二次函数
① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2;
④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有
(填题号).
②③⑥
⑤
①④⑤
复习引入
2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系
平行
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
一
画出二次函数 y=2x , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性。
7
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2+1 … …
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
6
5
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
4
o
y=2x2+1
x
-1
y=2x2-1
y=2x2
对称轴右侧y随x增大而增大.
5
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
4
o
x
y
-1
y=2x2-1
对称轴左侧y随x增大而减小
解析式 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性
y=2x2-1
y=2x2
y=2x2+1
向上
直线x=0
最低
(0,0)
(0,1)
(0,-1)
最小,y=0
最小,y=1
最小,y=-1
对称轴左侧y随x增大而减小
对称轴右侧y随x增大而增大
抛物线
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
二
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
(5)顶点都是最____点，函数都有
最____值，从上而下最大值分别
为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同：
_________________
____________________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)
( 0，2)
( 0,-2)
高
大
y=0
y= -2
y=2
y
-2
-2
2
2
-4
x
0
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
解析式 形状 开口方向 对
称
轴 顶点
坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
y = ax2+k
﹙a≠0)
向
上
x=0
向
下
最低
最高
对称轴左
侧y随x增
大而减小，
对称轴右
侧y随x增
大而增大
对称轴左
侧y随x增
大而增大，
对称轴右
侧y随x增
大而减小
（0，k）
最小，y=k
最大，y=k
抛物线
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象和性质
归纳总结
例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
解析式
y=2x2
2x2+1
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
二次函数y=ax2+k的图象及平移
三
可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+1
5
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
4
o
-1
可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1
x
y
从形的角度探究
上
下
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
知识要点
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
1.填表：
y = 2x2－４
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
能力提升
6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是( )
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
A
B
C
D
2
-2
8
B
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.