【轻松备课-人教版九上】24.1.2 垂直于弦的直径 课件

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24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
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当堂练习
课堂小结
24.1.2 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
问题1： 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
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⌒
理由如下：连接AO,BO.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
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⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理及其推论
一
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
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⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
归纳总结
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
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⌒
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
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⌒
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（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
归纳总结
CD⊥AB,
CD是直径
AM=BM
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AC=BC,
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⌒
AD=BD.
可推得
推导格式：
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
一
∴
cm.
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
垂径定理的实际应用
二
我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= ___ .
10 3 cm
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ____ .
14cm或2cm
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
拓展提升：
7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形