【轻松备课-人教版九上】24.1.3 弧、弦、圆心角 课件

(共24张PPT)
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问
题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”
条件的意义.（难点）
学习目标
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
所以圆是中心对称图形。
.
O
A
B
180°
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆心角的定义
一
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
·
·
O
B
A
·
O
B
A
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
A
B
O
O
O
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
弦
概念学习
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
圆心角、弧、弦之间的关系
二
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ， 弦AB=弦CD
归纳
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O ′
C
D
在等圆中探究
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
归纳
⌒
⌒
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
要点归纳
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒　⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角关系定理的推论
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，
有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
×
×
√
抢答题
1.等弦所对的弧相等. （ ）
2.等弧所对的弦相等. （ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，　 BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = ．
·
A
O
B
C
D
E
75°
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，____________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
理由如下：
解：
∵
例1 如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，
求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
典例精析
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
⌒ ⌒
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
∵AB=CD，
⌒ ⌒
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
D
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是 （ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB>CD
⌒ ⌒
C. AB⌒ ⌒
D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，
求证:AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
能力提升：
5.如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.不是，取 的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 = = . =2 ，弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD<2AB.
⌒ ⌒
A
B
C
D
E
O
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.