【轻松备课-人教版九上】24.1.4 圆周角 课件

(共26张PPT)
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
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当堂练习
课堂小结
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点）
3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
关系”.（难点）
C
A
E
D
B
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角的定义
一
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理及其推论
二
测量与猜测
圆心O在∠BAC的 内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与验证
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
要点归纳
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
试一试：
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，
理由是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
(1)完成下列填空
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒
⌒
推论2：等弧所对的圆周角相等
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
（3）若AC是半圆，
∠ADC= ，
∠ABC= .
90°
90°
若AC是直径，
推论3：半圆 所对的圆周角是直角.
（或直径）
反之，直角所对的弦是直径.
例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
B
典例精析
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的定义
圆内接四边形
三
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补.
练一练：
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
70
100
90
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）900的角所对的弦是直径 （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
×
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= ．
A
B
O
C
D
第2题
B
A
C
O
第3题
166°
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ，
∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
5.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
6.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）
A.70° B.110° C.90° D.120°
B
A
C
B
O
D
E
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E.
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证： .
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD,
AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；2.半圆所对的圆周角是直角；反之，直角所对的弦是直径.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）