【轻松备课-人教版九上】21.2.2 公式法 课件

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21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
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当堂练习
课堂小结
21.2.2 公式法
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
复习引入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0
求根公式的推导
一
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0 (Ⅲ)
能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
方程两边都除以a
解:
移项，得
配方，得
即
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ≥0时，
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
公式法解方程
二
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
典例精析
例2 解方程：
化简为一般式：
解：
即 ：
这里的a、b、c的值是什么？
例3 解方程：4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
解：
要点归纳
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
根的判别式
三
问题1 在例1~例3的解题中，你们发现了什么决定了方程根的情况？又是如何决定的呢？
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3、判别根的情况，得出结论.
1、化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2、计算 的值，确定 的符号.
例4 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，所以有
∴ k＜5且k≠1
故选B.
B
（3）方程4x2－4x+1=0中，a= ，b= ， c= ；
b2－4ac= .
1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c：
（1）方程2x2+x-6=0中，a= ，b= ， c= ； b2－4ac= .
（2）方程5x2－4x=12中，a= ，b= ， c= ；b2－4ac= .
2
1
-6
49
5
-4
-12
256
4
-4
0
1
参考答案:
2.解下列方程:
(1) x2-2x－8＝0；
(2) 9x2＋6x＝8；
(3) (2x-1)(x-2) =-1;
3.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.
解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.
所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.
所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.
这里a=5,b=-8,c=1，
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式