【轻松备课-人教版九上】21.2.3 因式分解法 课件

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21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
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当堂练习
课堂小结
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
因式分解法解一元二次方程
一
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)
分析： 设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2 =0 ①
解：
解：
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0
=100.
公式法解方程10x-4.9x2=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
10x-4.9x2=0.
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x-4.9x2 =0 ①
x(10-4.9x) =0 ②
x =0 ①
10-4.9x=0
上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0；
(1) x1=0,x2=2；
(2) (y+2)(y-3)=0；
(2) y1=-2,y2=3 ；
(3) (3x+6)(2x-4)=0；
(3) x1=-2,x2=2；
(4) x2=x.
(4) x1=0,x2=1.
例1 解下列方程：
解：（1）因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
可以试用多种方法解本例中的两个方程 .
典例精析
灵活选用方法解方程
二
典例精析
例2 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2 =
（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1= , x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
要点归纳
解法选择基本思路
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
1.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为：
(x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ②
由x+2=6, 得x=4; ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= ,x2= .
x2+x-2=0
-2
1
解: 原方程化为：
x2 - 3x -28= 0，
(x-7)(x+4)=0，
x1=7，x2=-4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
4.解方程：
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).