【轻松备课-人教版九上】21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件

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21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
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当堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
复习引入
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
探索一元二次方程的根与系数的关系
一
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
x1+x2=5
x1 · x2=6
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
猜一猜
（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
1. x2-2x-15=0；
例1 口答下列方程的两根之和与两根之积.
2. x2-6x+4=0；
3. 2x2+3x-5=0；
4. 3x2-7x=0；
5. 2x2=5.
x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
x1+x2=2,x1 ·x2=-15.
x1+x2=6,x1 ·x2=4.
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都
除以a
一元二次方程的根与系数的关系的应用
二
典例精析
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴ x2－3x+1=0 ； ⑵ 3x2－2x=2；
⑶ 2x2+3x=0； ⑷ 3x2=1 .
在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2) 在使用x1+x2=－ 时，“－ ”不要漏写.
注意
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=-7.
答：方程的另一个根是 ，k=-7.
已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= , (2)x1·x2= ,
(3) ,
(4) .
4
1
14
12
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
归纳
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
1
-2
-3
3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：（1）根据根与系数的关系
所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
常见变形