【轻松备课-人教版九上】21.2.1 第2课时 配方法 课件

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21.2.1 配方法
第二十一章 一元二次方程
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当堂练习
课堂小结
第2课时 配方法
学习目标
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
复习引入
(1) 9x2=1 ；
(2) (x-2)2=2.
想一想：
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
练一练:
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
配方的方法
一
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
探究交流
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）
x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律？
探究交流
22
2
32
3
42
4
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
想一想：
x2+px+( )2=(x+ )2
配方的方法
用配方法解方程
二
探究交流
怎样解方程(2)x2+6x+4=0
问题1 方程(2)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
要点归纳
像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
配方法解方程的基本步骤
一移常数项；二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
典例精析
例1 解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
方程的二次项系数不是1时，
为便于配方，可以将方程
各项的系数除以二次项系数．
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
配方法的应用
二
典例精析
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
归纳总结
配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.
答：道路的宽为1m.
3.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4
当x =2时有最大值-4
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
方法
在方程两边都配上
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明