【轻松备课-人教版九上】21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程 课件

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21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
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当堂练习
课堂小结
第3课时 几何图形与一元二次方程
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____.
C
B
D
A
(30-2x)(20-x)=6×78
问题引入
几何图形与一元二次方程
一
例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
27cm
21cm
典例精析
分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .
9 7
9 7
27cm
21cm
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由
此得到上下边衬宽度之比为：
9 7
27cm
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义
为什么
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.
试一试
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。依题意得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
（1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.
方法点拨
例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885.
解得 x1=105(舍去），x2=1.
注意：结果应符合实际意义
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 养鸡场的面积能达到180m2吗
如果能,请给出设计方案;如果不能,请
说明理由.
25m
180m2
x
解:设养鸡场的长为xm,根据题意得:
即 x2 - 40x + 360=0.
解方程,得 x1 = x2= (舍去),
答：鸡场的为（ ）m满足条件.
3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类 型
课本封面问题
彩条宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程