【轻松备课-人教版九上】21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程 课件

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21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
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当堂练习
课堂小结
第2课时 平均变化率问题与一元二次方程
学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）
问题引入
平均变化率问题与一元二次方程
一
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
探究归纳
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率x
第一次降低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1-x)(1-x)
5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
典例精析
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5 000 ( 1－x )2 = 3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
下降率不能超过1.
注意
练一练
前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得
6 000 ( 1－y )2 = 3 600.
解方程，得
y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
解后反思
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，则
二月份营业额为：__________________.
三月份营业额为：_______________.
根据： .
作为等量关系列方程为：
200(1+x)
一月、二月、三月的营业额共950万元.
200(1+x)2
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
注意
增长率不可为负，但可以超过1.
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .
B
2（1+x)+2(1+x)2=8
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
7200（1+x)2=8712
（1+x)2=1.21
1+x=1.1,
1+x=-1.1
x1=0.1,
x2=-1.1,
能力提升
菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元），
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.