14.2 三角形全等的判定 同步练习 2022-2023学年上学期安徽省八年级数学期末试题选编（含解析）

14.2 三角形全等的判定
1．（2022秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（　　）
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECD D．以上答案都不对
2．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期末）图中是全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
3．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　 　）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
4．（2022秋·安徽亳州·八年级统考期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（　　）
A． B． C． D．
6．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等 B．对顶角相等
C．同位角相等 D．有两边对应相等的直角三角形全等
7．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
8．（2022秋·安徽淮南·八年级统考期末）如图所示，已知，，要证，需补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD
10．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）小明不慎将一块三角形的玻璃俗摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），若将其中的一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形，则带去的碎玻璃的编号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
12．（2022秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点分别为A（0，3），B（﹣4，0），C（2，0），且△BCD与△ABC全等，则点D坐标可以是 ．
13．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 可证明．
14．（2022秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
15．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图,△中， AD、CE分别为△ABC的高，并交于点F，若，则的长为 .
16．（2022秋·安徽·八年级统考期末）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则：
（1）的度数是 ．
（2）若，，则的长是 ．
17．（2022秋·安徽·八年级统考期末）如图，点D，E分别在线段上，与相交于O点，已知，添加一个条件能直接用“”判定，符合要求的条件是 ．
18．（2022春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ．
19．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）．
（2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______；
（3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______；
（4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______．
20．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
21．（2022秋·安徽蚌埠·八年级统考期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取点M、N，使得OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．
(1)求证：OC平分∠AOB；
(2)已知∠AMC＝40°，∠MCN＝30°，求∠AOB的度数；
22．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°．
①求证：BD＝CE；
②∠BCE＝______°；
(2)设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，求证；
②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
23．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）已知：如图，，BE平分交CD于点E，连接AE，，求证：．
24．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，过点作于，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，，若，作，垂足为F．求到的距离．
25．（2022秋·安徽淮南·八年级统考期末）如图，D是上一点，交于点E，，，求证：．
26．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，、相交于点O，，于点E，于点F，且．求证：．
27．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，已知点E，F在线段AB上，，，.求证：.
28．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 　 　；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知：　 　．
求证：　 　．
证明：　 　．
29．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
30．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期末）在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，，，，连接BE，CD．
(1)如图1，求证：；
图1
(2)如图2，延长DE交BC于点F，若，求∠AEB的度数；
图2
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点C作交DF于点P，若，求△FCP的面积．
图3
参考答案：
1．A
【分析】本题已知AB＝AC，DB＝DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，即可判定△ABD≌△ACD．
【详解】解：在△ABD与△ACD中
∵，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
故答案为A．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，掌握AAS、ASA、SAS、SSS四个定理是本题的关键．
2．B
【分析】比较三条边的长度一致的就是全等三角形．
【详解】解：比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定SSS，三边对应相等，两三角形全等．
3．A
【分析】根据三角形全等的判定定理对各选项分析判断，利用排除法求解．
【详解】A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用判定两三角形全等，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理、和直角三角形全等的判定定理．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
≌，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
≌，
故③符合题意；
④，，，
≌，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．D
【分析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可．
【详解】解：如图，由作图可知，．
在和中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了画一个角等于已知角的基本作图，正确理解作图的基本原理是解题的关键．
6．C
【分析】根据全等三角形的性质与判定即可判断A、D；根据对顶角的性质即可判断B；根据平行线的性质即可判断C．
【详解】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；
D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知平行线的性质，全等三角形的性质与判定，对顶角的性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：于点，于点，
，
在与中，
，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
8．C
【分析】根据已知条件可知和已满足两组对边相等，根据三角形全等的判定方法可知补充“两组对边的夹角相等”或“第三组对边相等”即可证明．
【详解】解：当时，
，即，
在和中，
，
，
要证，需补充的条件是，
故选C．
【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．C
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：BF=EC，
A. 添加一个条件AB=DE，
又
故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又
故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD
又
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．B
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．
11．D
【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解．
【详解】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，
延长BD至E，使DE=BD=x，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC=9，又AB=5，
∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，
∴9－5＜BE＜9+5，
∴4＜2x＜14，
∴2＜x＜7，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
12．（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）
【分析】根据网格结构分别作出BD=AC、CD=AB 或BD=AB、CD=AC，然后由SSS即可得△BCD与△ABC全等．
【详解】如图所示，△BCD与△ABC全等，点D的坐标可以是（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）．
故答案为: （﹣2，3）或（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定，利用网格结构找出使边相等的点D即可，熟练掌握网格结构特点是解题关键．
13．
【分析】利用三角形全等的定理证明，根据全等三角形的性质可得．
【详解】解∶在和中，
，
∴，
∴，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定理是解题的关键．
14．①③④
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据等腰三角形的性质即可得；先根据三角形全等的性质可得，由判断①、③；②假设，根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此可得假设不成立；先根据三角形的外角性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得④是否成立．
【详解】在和中，，
，
，
，则结论①正确；
∴，则结论③正确；
由三角形的外角性质得：，
又，
，则结论④正确；
假设，
在和中，，
，
，即AF是的角平分线，
∵AF不一定是的角平分线，
∴假设不一定成立，则结论②错误；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
15．3cm
【分析】根据45°可得相等的角，得出全等三角形，利用BC长度代替AF长度.
【详解】证明：在△ABC中，
∵∠BAC=45°，CE⊥AB，
∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC，
∵cm，
∴BC=3=AF.
【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形的判定和性质，将待求问题转化成易求问题.
16． /60度 9
【分析】（1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数；
（2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案．
【详解】解：（1）∵在中，，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】添加结合已知条件进行证明即可．
【详解】解：添加条件，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．BD与EF互相平分
【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．
【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
设EF与BD交于点G，
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∴BD与EF互相平分．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．
19．（1）SAS；（2）3；（3）6；（4）
【分析】（1）利用SAS判定△ABD≌△ACD即可；
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，利用SAS证△ABE≌△ACE，从而得到BD=CD，BE=CE，则可利用SSS证△BDE≌△CDE，即可得出答案；
（3）由（2）知△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，再利用SAS证△ABF≌△ACF，利用SSS证△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，即可得出答案；
（4）由（1）（2）（3）总结出规律即可求解．
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：SAS；
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴BD=CD，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE，
∴BE=CE，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE，
∴全等三角形共有3个，
故答案为：3；
（3）同理可得△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，共有6对全等三角形，
故答案为：6；
（4）第1个图有1对全等三角形，
第2个图有3=对全等三角形，
第3个图有6=对全等三角形，
…
第x个图有对全等三角形，
故答案为：．
【点睛】本题词考查全等三角形的判定，图形找规律，熟练掌握全等三角形的判定理是解题的关键．
20．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
（2）解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
21．(1)见解析
(2)50°
【分析】（1）由“SSS”可证△OMC≌△ONC，可得∠MOC=∠NOC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠MCO=∠NCO=15°，由外角的性质可求解．
【详解】（1）解：在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB；
（2）解：∵△OMC≌△ONC，∠MCN=30°，
∴∠MCO=∠NCO=15°，
∵∠AMC=∠MCO+∠MOC=40°，
∴∠MOC=∠AMC-∠MCO=25°，
∴∠AOB=2∠MOC=50°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．(1)①证明见解析；②90°
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可证明结论；
②由①知△ABD≌△ACE，得∠B＝∠ACE，则∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝∠ACB＋∠B＝90°；
（2）①利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B＝∠ACE，从而α＋β＝180°；
②由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE，从而得出∠BAC＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即可得出答案．
【详解】（1）解：①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②由①知△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝∠ACB＋∠B，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°，
故答案为：90°；
（2）解：①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B＋∠ACB＝α，
∵∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴α＋β＝180°；
②α＝β．理由如下：如图，
由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCE，
即α＝β．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
23．见解析
【分析】由“ASA”可证△ABE≌△HBE，可得AB＝BH，AE＝EH，由“AAS”可证△ADE≌△HCE，可得AD＝CH，可得结论．
【详解】解：如图，延长AE，BC交于点H，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△HBE中，
，
∴△ABE≌△HBE（ASA），
∴AB＝BH，AE＝EH，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCH，
在△ADE和△HCE中，
，
∴△ADE≌△HCE（AAS），
∴AD＝CH，
∴AB＝BH＝BC＋CH＝BC＋AD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．到的距离为
【分析】先证明，即可得到，再求出即可得到答案．
【详解】解：，于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即到的距离为．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
25．证明见详解
【分析】证即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中：
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
26．证明见解析
【分析】由垂直可得，利用可证明，得到，由“内错角相等，两直线平行”可得．
【详解】证明：∵于点E，于点F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明全等．
27．证明见解析
【分析】先根据线段的和差可得，再根据可得和都是直角三角形，然后根据直角三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
，即，
，
和都是直角三角形，
在和中，，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题关键．
28．（1）2；（2）见解析
【分析】（1）在4个条件中任取三个条件，共有4种情况，然后根据全等三角形的判定条件即可求出答案．
（2）根据全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】解：（1）若①②③为条件，④为结论，
则可利用SAS证明△ACB≌△DCE，可得④；
若①②④为条件，③为结论，
则可利用SSS证明△ACB≌△DCE，可得③；
若①③④为条件，②为结论，
无法证明△ACB≌△DCE，则不可得②；
若②③④为条件，①为结论，
无法证明△ACB≌△DCE，则不可得①；
∴真命题的个数是2；
（2）若选①②③为条件，④为结论，
已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB．
求证：AB＝DE．
证明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是找出所有情况出来，然后根据全等三角形的条件进行判断．
29．(1)
(2)10
【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题；
（2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：、分别为的角平分线，
，，
，
；
（2）解：在上截取，连接．
、分别为的角平分线
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
30．(1)见解析
(2)90°
(3)8
【分析】（1）根据SAS求证△BAE和△CAD全等，进而利用全等三角形的性质即可求证结论；
（2）根据全等三角形的性质和平角性质即可求解；
（3）根据SAS求证△BEF和△CDP全等，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴，
（2）∵，
∴，
∵△BAE≌△CAD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，．
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
在△BEF和△CDP中，
∴△BEF≌△CDP（AAS），
∴，
∵．
∴．
∴．
【点睛】本题考查三角形的综合题，涉及到全等三角形的判定及其性质，三角形面积计算公式，解体的关键是熟练掌握并运用全等三角形的判定定理及其性质．