15.4 角的平分线 同步练习（含解析） 2022-2023学年上学期安徽省八年级数学期末试题选编

15.4 角的平分线
一、单选题
1．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（ ）
A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ//AB D．PQ＝PC
3．（2022秋·安徽亳州·八年级统考期末）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=12，则PD等于（ ）
A．12 B．6 C．5 D．4
4．（2022秋·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知：如图，在 RtΔABC中，∠C ＝ 90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，D为垂足，若AC＝12，则AE的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，有下列结论：
①； ②； ③平分； ④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．（2022秋·安徽铜陵·八年级统考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
7．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022秋·安徽池州·八年级统考期末）如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
9．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连结CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连结CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①CP//OB；②∠AOP = ∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
二、填空题
10．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，平分，于点，，点是射线上一个动点，若，则的取值范围是 ．
三、解答题
11．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．
(1)求证：DO平分∠ADC．
(2)若点A的坐标是，求点B的坐标．
12．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在中，D是上一点，P是上一点，．
(1)若与的面积相等，求证：；
(2)若，求证：．
13．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期末）如图，，平分交于点．若，求的度数．
14．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
(1)画，使它与关于直线l成轴对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到点A，点B的距离之和最短；
(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边的距离相等．
15．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，和分别平分的内角和外角，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，请判断的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若，求的大小．
16．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，△ABC的周长是10，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为______．
17．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）（1）已知：如图1，线段CD与，通过作图求一点P，使，并且点P到两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知：如图2，点O在的外部，且，点O到两边的距离相等．问：一定成立吗？若一定成立，请证明；若不一定成立，请画图说明．
18．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．
（1）若∠BAC=80°，则∠EDF=________．
（2）求证：AD平分∠BAC；
（3）在（1）的条件下，求∠BCD的度数．
19．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：．
20．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，
(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC的平分线交BC于点D；②过点A作△ABC中BC边上的高AE，垂足为点E；
(2)在（1）的基础上，求∠DAE的度数．
参考答案：
1．A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
【详解】解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟练掌握角的平分线的性质是解决问题的关键．
2．D
【分析】可利用角平分线的性质判断B，利用HL判断A，利用平行线的判定定理判断C．
【详解】解：于点M，于点N，
在的角平分线上，
，
故B正确；
故C正确；
故A正确；
由于不能说明与相等，也不能直接证明PQ与PC相等，
故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形全等的判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．B
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用平行线的性质得到，接着根据含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图，
，
平分，，
而，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，含直角三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】利用BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，得∠CBE=∠A=∠ABE ===30°，从而得出AE=2EC，而AE+EC=AC=12，求解即可得出答案．
【详解】解：解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=∠A=∠ABE ===30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=12，
∴AE=8，
故选：D．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明∠A=30°．
5．D
【分析】证明得到，即可判断①；由，得到，再由，推出，即可判断②；过点B作于N， 于F，证明得到，得到平分，即可判定③；在上截取 ，连接 ，先证明，即可证明得到，推出为等边三角形，则 ， ，即可判断④．
【详解】证明：①∵等边和等边，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，
∴，
∵，
则，故②符合题意；
③过点B作于N， 于F，
∵，
∴，
在 和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故③符合题意；
④在上截取，连接 ，
由②知，
∴，
由③知：平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和 中
∴，
∴，
∴为等边三角形，则， 故 ，
故④符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题关键是作出合适的辅助线，熟练掌握全等三角形的性质与判定方法．
6．C
【分析】如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
7．A
【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积；
【详解】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积；
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
8．B
【分析】利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．
【详解】解：如图，
由作法得到，，
而为公共边，
所以根据“”可判断，
所以，
即平分．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．
9．B
【分析】证明△OCP≌△ODP，得到∠AOP = ∠BOP，故②正确；根据OC=OD，∠AOP = ∠BOP，得到OQ⊥CD，故③正确；根据∠CPO 不一定等于∠BOP，得到CP不一定平行OB，故①不正确，问题得解．
【详解】解：由题意得，OC=OD，PC=PD，
又∵OP=OP，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，故②正确；
∵OC=OD，∠AOP = ∠BOP，
∴OQ⊥CD，即OP⊥CD，故③正确；
由△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，∠CPO = ∠DPO，
但∠CPO 不一定等于∠BOP，
∴CP不一定平行OB，故①不正确．
故选：B
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形性质，等腰三角形性质等知识，理解尺规作图，得到OC=OD，PC=PD，进而得到△OCP≌△ODP是解题关键．
10．
【详解】解：如图，过点P作PB⊥OM于B，
∵平分，，PB⊥OM，
∴PB=PA=3，
∵点是射线上一个任意点，
∴PQ≥PB，
∴m≥3，
故答案为：m≥3．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直线段最短，解题的关键是熟练作PB⊥OM于B，证得PB=PA=3．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由可得，由可得，再结合平分，即可证明平分．
（2）作于，利用角平分线的性质可得，由此可得的坐标．
【详解】（1）证明：轴，轴，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分．
（2）：作于，
，．
平分，，，
．
平分，，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解决本题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)如图，作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，根据角平分线的性质定理可得PM=PN，再利用面积法即可解决问题；
(2)想办法证明AB=AC，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
【详解】（1）作于M，于N，如图所示：
，
即，
；
（2）在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．117°
【分析】根据∠1求出，再根据平分求出∠ECD，根据，得出∠2．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线等有关知识，根据条件合理运用性质和定理是解决问题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图所示，在网格上分别找到点A、点B、点C的对称点点、点、点，连接、、即可；
（2）连接交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（3）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）解：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称，
∴
∴，
如下图，连接
∴当点P在直线l和的交点处时，为最小值，
∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值，即点P到点A、点B的距离之和最短；
（3）解：如图所示，连接，
根据题意的：
∴点Q在直线l和的交点处时，点Q到边的距离相等．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)为等腰三角形，见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线定义和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）过作于，于，于，由角平分线的性质得，，则，再证，然后证，则，得，即可得到结论；
（3）由等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和即可得到答案．
【详解】（1）解：证明：、分别平分、，交于，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：证明：为等腰三角形，理由如下：
过作于，于，于，
、分别平分、，
，，
，
平分，
即，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（3）解：，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、三角形的外角的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确作出辅助线．
16．定理证明：见解析；定理应用：15．
【分析】定理证明：利用AAS判定△OEP≌△ODP可得PE=PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得EO=DO，OF=DO，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【详解】定理证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，
在△OEP和△ODP中，
∵，
∴△OEP≌△ODP（AAS），
∴PE=PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO=DO，OF=DO，
∵OD=3，
∴EO=FO=3，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC=10，
∴△ABC的面积：
AB EO+AC FO+CB DO=（AB+AC+BC）=×10=15，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
17．（1）见解析；（2）不一定成立．
【分析】（1）作的垂直平分线，的角平分线，两条线交于点即可；
（2）构造且，根据角平分线的性质，线段垂直平分线的性质即可判定图形符合题目条件．
【详解】解：（1）如图（1），点即为所求；
（2）不一定成立，理由如下：
如图（2），作且，再作平分线AO和边BC的垂直平分线交与O，此时，点O到两边的距离相等．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线，线段垂直平分线的作法．
18．（1）100°；（2）证明见解析；（3）40°．
【分析】（1）直接根据四边形内角和为360度求解即可；
（2）连接BD，由线段垂直平分线的性质得到BD=CD，证，得到DE=DF，再由DF⊥AB于F，DE⊥AC，即可得到AD平分∠BAC；
（3）由，得到∠CDE=∠BDF，则∠BDC=∠EDF，从而得到∠BDC=100°，再由BD=CD，得到．
【详解】（1）解：∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AFD=∠AED=90°，
∵∠AFD+∠AED+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠EDF=360°-（∠AFD+∠AED+∠BAC）＝100°，
故答案为：100°；
（2）证明：如图，连接BD，
∵DH垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴，
∴DE=DF，
∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（3）∵，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF，即∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC=100°，
∵BD=CD，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
19．见解析
【分析】如图，作辅助线，证明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解决问题．
【详解】证明：过P作PE⊥OA于点E，过P作PF⊥OB于点F，
则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
在△POE和△POF中
，
≌，
∴PE=PF，
∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PEC≌△PFD，
∴PC=PD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键．
20．(1)①见解析；②见解析
(2)15°
【分析】（1）①利用尺规，以点A为圆心，任意长为半径左弧，交AB、AC于两点M、N，以M、N为圆心，大于为半径作圆交于点P，作射线AP，交BC于点D即可；
②以点A为圆心，作弧交BC于G、H，分别以G、H为圆心，大于作弧，交于点O，做射线AO，交BC于点E，AE即为三角形所求高．
（2）求出∠CAD，∠CAE，再根据角的和差定义求解即可．
【详解】（1）解：①线段AD即为所求；②如图，线段AE即为所求．
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，
∴∠CAD=55°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°-∠C=20°，
∴∠DAE=35°-20°=15°．
【点睛】本题考查作图复杂作图，三角形的角平分线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．