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第二章
一元二次函数、方程和不等式
不等关系
>
＝
<
>
＝
<
≥
a＝b
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（十）
谢谢观看！
作差
a-b
变形
采用配方、因式分解、通分、有理化等方法
定号
判断差与0的大小
结论
得出a,b的大小
a
a
a
b
b
b
图1
图22．1 等式性质与不等式性质
[学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质．
第1课时 不等关系与不等式
知识点一 不等关系与不等式
[问题导引] 生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志：
其含义分别为
①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；
②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m.
你能用数学式子表示上述关系吗？
提示： ①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m.
1．不等式的概念
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
[点拨] 不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
下列说法正确的是( )
A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高表示为“x
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
C [某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，∴A错误；小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高表示为“x>y”，∴B错误；某变量x至少是a可表示为“x≥a”，∴C正确；某变量y不超过a可表示为“y≤a”，∴D错误．]
即时练1.李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是________．
解析： 由题意知，x个月后所存的钱数为(30x＋60)元，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400.
答案： 30x＋60≥400
知识点二 实数大小比较的基本事实
[问题导引] 对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？
提示： 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a1．实数大小比较的基本事实
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a(2)符号表示
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(链接教材P38例1)比较3x3与3x2－x＋1的大小；
解析： 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).当x<1时，有x－1<0，而3x2＋1>0，所以(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1；当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，所以3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1.
综上，当x<1时，3x3<3x2－x＋1；当x＝1时，3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，3x3>3x2－x＋1.
作差法比较a，b大小的基本步骤
即时练2.已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则( )
A．M>N B．M＝N
C．MA [易知M>0，N>0，∵M2－N2＝(＋)2－()2＝2>0，∴M>N.]
即时练3.若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是________．
解析： m－n＝x2－1－2(x＋1)2＋4(x＋1)－1＝－x2≤0，故m≤n.
答案： m≤n
利用作差法证明不等式
已知a，b均为正实数，证明：a3＋b3≥a2b＋ab2.
解析： a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
因为a，b均为正实数，所以a＋b>0，(a－b)2≥0.
则a3＋b3≥a2b＋ab2，
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
作差法证明不等式的步骤
(1)将不等式的两边作差．
(2)进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号．
(3)利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
即时练4.已知a>0，求证：a＋≥2.
证明： ∵a>0，∴a＋－2＝()2＋()2－2＝(－)2≥0，∴a＋≥2.
情景创新 不等式关系的实际应用
为纪念建党100周年，某单位组织员工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 .
解析： 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
即时练5.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件)
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
解析： 设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产量最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．
答案： 20 330
1．下列能表示“a不比b小”的不等关系的是( )
A．a－b>0 B．a－b<0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
C [“a不比b小”意味着“a大于等于b”，即a－b≥0.]
2．已知a1，a2∈{x|0A．MN
C．M＝N D．不确定
B [由题意得00，故M>N.故选B．]
3．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：____________________________________________________.
(2)m与n的和大于p：____________________________________________________.
答案： (1)ab≥0 (2)m＋n>p
4．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________．
解析： 由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即(a2＋b2)>aB．
答案： (a2＋b2)>ab2．1 等式性质与不等式性质
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质．
第1课时 不等关系与不等式
知识点一 不等关系与不等式
生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志：
其含义分别为
①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；
②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m.
你能用数学式子表示上述关系吗？
提示： ①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m.
1．不等式的概念
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
下列说法正确的是( )
A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高表示为“xC．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
即时练1.李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是________．
知识点二 实数大小比较的基本事实
对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？
提示： 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a1．实数大小比较的基本事实
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a(2)符号表示
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(链接教材P38例1)比较3x3与3x2－x＋1的大小；
作差法比较a，b大小的基本步骤
即时练2.已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则( )
A．M>N B．M＝N
C．M
即时练3.若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是________．
利用作差法证明不等式
已知a，b均为正实数，证明：a3＋b3≥a2b＋ab2.
作差法证明不等式的步骤
(1)将不等式的两边作差．
(2)进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号．
(3)利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
即时练4.已知a>0，求证：a＋≥2.
情景创新 不等式关系的实际应用
为纪念建党100周年，某单位组织员工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 .
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
即时练5.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件)
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
1．下列能表示“a不比b小”的不等关系的是( )
A．a－b>0 B．a－b<0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
2．已知a1，a2∈{x|0A．MN
C．M＝N D．不确定
3．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：____________________________________________________.
(2)m与n的和大于p：____________________________________________________.
4．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________．课时作业(十) 不等关系与不等式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是( )
A．正数 B．非负数
C．实数 D．不存在
C [原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．]
2．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．]
3．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A． B．2x－5≥1或5－2x≥1
C． D．
D [由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m.因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以，即.]
4．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为( )
A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”
C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c且a＋c>b且b＋c>a”
D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t可表示为“7℃≤t≤13℃”
CD [对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B，小明比小华矮，应表示为“x5．已知a为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4).(填“>”“<”或“＝”)
解析： 因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
答案： <
6．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
解析： 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000.
答案： 4.5 t<28 000
7．已知02ab与的大小．
解析： 因为2ab－＝2a(1－a)－
＝－2a2＋2a－
＝－2
＝－2<0，
所以2ab<.
[能力提升]
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
A [根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.]
9．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是( )
A．x>y B．x＝y
C．xC [用作商法比较，由题意x，y>0，
∵＝＝<1，
∴x10．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是________．
解析： ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a2－ab＋b2＝＋b2≥0，∴A≥B．
答案： A≥B
11．有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
解析： 设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，
解得∵x∈N*，∴x＝10，11或12.
答案： 10，11或12
12．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B．
试用不等式组表示x，y所满足的不等关系．
解析： x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有
即课时作业(十) 不等关系与不等式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是( )
A．正数 B．非负数
C．实数 D．不存在
2．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
3．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A． B．2x－5≥1或5－2x≥1
C． D．
4．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为( )
A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”
C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c且a＋c>b且b＋c>a”
D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t可表示为“7℃≤t≤13℃”
5．已知a为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4).(填“>”“<”或“＝”)
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
6．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
7．已知02ab与的大小．
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
9．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是( )
A．x>y B．x＝y
C．x
10．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是________．
11．有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
解得∵x∈N*，∴x＝10，11或12.
12．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B．
试用不等式组表示x，y所满足的不等关系．