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高中数学人教A版（2019）必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质

2.1 等式性质与不等式性质 第2课时 等式性质与不等式性质（共打包5份）

文档属性

名称 2.1 等式性质与不等式性质 第2课时 等式性质与不等式性质（共打包5份）
格式 zip
文件大小 1.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版（2019）
科目 数学
更新时间 2023-08-04 17:47:53

文档简介

(共36张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
a＝c
b±c
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
an>bn
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（十一）
谢谢观看！第2课时　等式性质与不等式性质
知识点一　等式的性质
[问题导引]　在解方程2x－1＝3时，移项得2x＝4的理论依据是什么？把x的系数化为1得x＝2的理论依据是什么？
提示：　等式两边都加上(或减去)同一个数仍是等式．等式两边都乘上(或除以)同一个不等于零的数仍是等式．
等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝
[点拨]　性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数．
(1)若2x－3＝－5，则2x＝________，x＝________；
(2)若5x＋2＝2x－4，则3x＝________，x＝________．
解析：　(1)根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得x＝－1.
(2)根据等式的性质3，等式两边同减(2x＋2)，得3x＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得x＝－2.
答案：　(1)－2　－1　(2)－6　－2
知识点二　不等式的性质
[问题导引]　已知3>2，若两边同乘2，不等式成立吗？若两边同乘c(c为常数)，不等式成立吗？
提示：　同乘2，不等式成立．两边同乘c，不等式不一定成立．
不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
[点拨]　
(1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．
(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．
(3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
D　[令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C．由不等式的性质5知，D一定成立．]
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．
(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．　　
即时练1.已知实数a，b，c满足0A．a＋c>b＋c B．ac>bc
C．acC　[因为0即时练2.(多选)(2021·重庆渝东八校高一期中联考)已知<<0，则下列结论正确的是(　　)
A．aa＋b
C．|a|<|b| D．ab>b2
BC　[由<<0可得b0，a＋b<0，所以ab>a＋b，故选项B正确；因为b|a|，故选项C正确；
因为b0，可得ab－b2＝b(a－b)<0，ab应用1　利用不等式的性质证明不等式
(链接教材P42例2)已知a>b>0，c.
证明：　∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，
即a－c>b－d>0，∴0<<.
又∵e<0，∴>.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
即时练3.已知a>b>0，求证：>.
证明：　∵a>b>0，∴>>0.①
又∵a>b>0，两边同乘正数，得>>0.②
由①②得>.
应用2　利用不等式的性质求代数式的取值范围
已知1解析：　∵1∴8<2a＋3b<32.
∵2又∵1∴1＋(－8)即－7故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7[一题多变]
(变设问)在本例条件下，求的取值范围．
解析：　∵2∴<<，∵1∴1×故的取值范围是<<2.
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
即时练4.已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3B．
解析：　(1)由－2得－1(2)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3.②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3.所以2a－3b的取值范围是{2a－3b|－10<2a－3b≤3}．
1．下列运用等式的性质变形不正确的是(　　)
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝b
D．若x＝y，则＝
D　[对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故此选项错误．]
2．已知aA．|b|<－a B．ab>0 C．ab<0 D．|a|<|b|
A　[由a3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是________．
解析：　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.所以－2<α－β<2，又α<β.所以－2<α－β<0.
答案：　－2<α－β<0
4．(1)已知a>b，cb－d；
(2)已知a>b，ab>0，求证：<.
证明：　(1)因为a>b，c所以a>b，－c>－D．
则a－c>b－D．
(2)因为ab>0，所以>0.
又因为a>b，
所以a·>b·，
即>，因此<.第2课时　等式性质与不等式性质
知识点一　等式的性质
　在解方程2x－1＝3时，移项得2x＝4的理论依据是什么？把x的系数化为1得x＝2的理论依据是什么？
提示：　等式两边都加上(或减去)同一个数仍是等式．等式两边都乘上(或除以)同一个不等于零的数仍是等式．
等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝
　性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数．
(1)若2x－3＝－5，则2x＝________，x＝________；
(2)若5x＋2＝2x－4，则3x＝________，x＝________．
知识点二　不等式的性质
　已知3>2，若两边同乘2，不等式成立吗？若两边同乘c(c为常数)，不等式成立吗？
．
不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
　
(1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．
(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．
(3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
　
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．
(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．　　
即时练1.已知实数a，b，c满足0A．a＋c>b＋c B．ac>bc
C．ac　
即时练2.(多选)(2021·重庆渝东八校高一期中联考)已知<<0，则下列结论正确的是(　　)
A．aa＋b
C．|a|<|b| D．ab>b2
　
应用1　利用不等式的性质证明不等式
(链接教材P42例2)已知a>b>0，c.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
即时练3.已知a>b>0，求证：>.
应用2　利用不等式的性质求代数式的取值范围
已知1利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
即时练4.已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3B．
1．下列运用等式的性质变形不正确的是(　　)
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝b
D．若x＝y，则＝
　
2．已知aA．|b|<－a B．ab>0 C．ab<0 D．|a|<|b|
　
3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是________．
4．(1)已知a>b，cb－d；
(2)已知a>b，ab>0，求证：<.课时作业(十一)　等式性质与不等式性质
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确，而不满足a>b．故选D．]
2．(2021·山东滨州高一期中)下列结论正确的是(　　)
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
D　[若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a－2，而12<(－2)2，所以B错误；取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4>1，－1>－2，而4×(－1)<1×(－2)，所以C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D．]
3．(多选)(2021安徽马鞍山二中高一(上)期中考试)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．< B．>
C．a>b2 D．a2>b2
CD　[当a＝2，b＝－时，满足条件，但<不成立，故A错误；当a>b>0时，<，故B错误；因为1>b>－1，b≠0，所以0b2，故C正确；因为a>1，－11，b2<1，显然a2>b2，故D正确．故选CD．]
4．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．x－1>1－y B．x－1>y－1
C．x－y>1－y D．1－x>y－x
BCD　[对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立，故选BCD．]
5．不等式a>b和>同时成立的条件是________．
解析：　若a，b同号，则a>b <.
答案：　a>0>b
6．设x>1，－1解析：　∵－11，∴y<－y答案：　y<－y7．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
证明：　因为bc－ad≥0，所以ad≤bC．因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.
[能力提升]
8．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　)
A．如果a>b，那么> B．如果acC．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么>
D　[利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B，C中的前提条件．对于选项A，有<，故A是假命题；对于选项B，有a>b，故B是假命题；对于选项C，有>，故C是假命题；对于选项D，∵c≠0，∴>0，由不等式的性质4知，D是真命题．]
9．(多选)(2021·湖北武汉高二月考)下列说法正确的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2≥bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c>0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
ABD　[对于A，若a>b>0，则ac2－bc2＝c2(a－b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a0，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则－＝＝<0，所以<，故C错误；对于D，若a>b且>，则b－a<0，－＝>0，所以ab<0，故D正确．故选ABD．]
10．能够说明“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．
解析：　要使“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题，只需满足b答案：　－1，－2(答案不唯一)
11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>aD．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
解析：　①② ③，③① ②.(证明略)
由②得>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0 ①.所以可以组成3个正确命题．
答案：　3
12．已知：3(1)a；(2)a－b；(3).
解析：　(1)∵3∴－1<－b<0，
∴2即2(2)∵0又∵2∴1(3)∵01，
又∵22.课时作业(十一)　等式性质与不等式性质
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
　
2．(2021·山东滨州高一期中)下列结论正确的是(　　)
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
　
3．(多选)(2021安徽马鞍山二中高一(上)期中考试)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．< B．>
C．a>b2 D．a2>b2
　
4．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．x－1>1－y B．x－1>y－1
C．x－y>1－y D．1－x>y－x
　
5．不等式a>b和>同时成立的条件是________．
6．设x>1，－17．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
证明：　因为bc－ad≥0，所以ad≤bC．因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.
8．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　)
A．如果a>b，那么> B．如果acC．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么>
　
9．(多选)(2021·湖北武汉高二月考)下列说法正确的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2≥bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c>0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
　
10．能够说明“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．
11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>aD．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
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