(共39张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
不小于
x＝y
x＝y
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（十二）
谢谢观看！2.2 基本不等式
[学习目标] 1.理解基本不等式≤(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
第1课时 基本不等式
知识点一 基本不等式
[问题导引1] 在a>0，b>0的条件下，把a2＋b2≥2ab中a，b分别由，代换，可得到一个什么样的不等式？
提示： 可得a＋b≥2，即≤.
[问题导引2] 你得到的不等式中的a>0，b>0是否可以去掉？
提示： 不能
[问题导引3] 不等式中的“＝”成立的条件是什么？
提示： a＝b
基本不等式
(1)公式：
①条件：a>0，b>0；
②结论：≤；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[点拨] (1)基本不等式≤(a>0，b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
(2)当且仅当的含义：
①当a＝b时等号成立，即a＝b a2＋b2＝2ab；
②仅当a＝b时等号成立，即a2＋b2＝2ab a＝B．
(3)基本不等式的常见变形
①a＋b≥2；
②ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立).
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )
(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.( )
(3)若a，b为正实数，则＋≥2 ＝2.( )
(4)若a>0，b>0，则ab≤恒成立．( )
(5)若a<0，b<0，则≤aB．( )
答案： (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
知识点二 基本不等式与最值
已知x，y都是正数，则
(1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
[点拨] 简记：和定积最大，积定和最小．
(链接教材P45例2)求下列式子的最值：
(1)y＝x(6－2x)(0
(2)y＝3x＋(x<0).
解析： (1)因为00，3－x>0，
所以y＝x(6－2x)＝x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号．
所以y＝x(6－2x)(0(2)因为x<0，所以－x>0.则－y＝＋(－3x)≥2＝12，即y≤－12.
当且仅当－3x＝，即x＝－2时，等号成立．
所以y的最大值为－12.
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一正、二定、三相等
(1)各项均为正；(2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时，应使和为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；(3)考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，故三点缺一不可．
即时练1.若x>0，则函数y＝x＋( )
A．有最大值－4 B．有最小值4
C．有最大值－2 D．有最小值2
B [y＝x＋≥2 ＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时，函数y＝x＋取得最小值4.]
即时练2.已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
C [∵x>0，y>0，x＋y＝18，
∴x＋y≥2，
∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，
∴xy有最大值81.]
应用1 配凑法求最值
(1)已知x>3，求y＝2x＋的最小值；
(2)已知0解析： (1)因为x>3，所以2x－6>0，
所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号．
所以y＝2x＋的最小值是10.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．
故当x＝时，ymax＝.
配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
应用2 拆裂项求最值
若x>1，求函数y＝的最小值．
解析： 因为x>1，所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立，所以当x＝2时，y取得最小值为4.
裂项与拆项的应用技巧
裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值．
应用3 常数代换法求最值
已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解析： ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
∵＋＝1，
∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
常数代换法的应用技巧
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
即时练3.已知t>0，求y＝的最小值．
解析： 依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，
等号成立时t＝1，
即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
即时练4.若0解析： 因为0所以8－2x>0，
所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤·()2＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．
所以y＝x(8－2x)的最大值为8.
答案： 8
即时练5.若a，b都是正数，则的最小值为________．
解析： 因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．
答案： 9
1．(多选)下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R)
BC [A中，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；B中，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以B一定成立；C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；D中，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．故选BC．]
2．已知0A． B．
C． D．
B [∵00.∴x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．]
3．若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是( )
A．3 B．4
C．4 D．2
A [2x＋＋y＋≥2＋2＝2＋＝3，当且仅当2x＝，y＝，即x＝，y＝时等号成立．]
4．函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为________．
解析： 因为x>1，所以x－1>0，
由基本不等式可得f(x)＝x－1＋＋1≥
2＋1＝2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3.
答案： 32.2 基本不等式
1.理解基本不等式≤(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
第1课时 基本不等式
知识点一 基本不等式
在a>0，b>0的条件下，把a2＋b2≥2ab中a，b分别由，代换，可得到一个什么样的不等式？
提示： 可得a＋b≥2，即≤.
你得到的不等式中的a>0，b>0是否可以去掉？
提示： 不能
不等式中的“＝”成立的条件是什么？
提示： a＝b
基本不等式
(1)公式：
①条件：a>0，b>0；
②结论：≤；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )
(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.( )
(3)若a，b为正实数，则＋≥2 ＝2.( )
(4)若a>0，b>0，则ab≤恒成立．( )
(5)若a<0，b<0，则≤aB．( )
知识点二 基本不等式与最值
已知x，y都是正数，则
(1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
简记：和定积最大，积定和最小．
(链接教材P45例2)求下列式子的最值：
(1)y＝x(6－2x)(0(2)y＝3x＋(x<0).
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一正、二定、三相等
(1)各项均为正；(2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时，应使和为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；(3)考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，故三点缺一不可．
即时练1.若x>0，则函数y＝x＋( )
A．有最大值－4 B．有最小值4
C．有最大值－2 D．有最小值2
即时练2.已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
应用1 配凑法求最值
(1)已知x>3，求y＝2x＋的最小值；
(2)已知0配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
应用2 拆裂项求最值
若x>1，求函数y＝的最小值．
裂项与拆项的应用技巧
裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值．
应用3 常数代换法求最值
已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
常数代换法的应用技巧
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
即时练3.已知t>0，求y＝的最小值．
即时练4.若0即时练5.若a，b都是正数，则的最小值为________．
1．(多选)下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R)
2．已知0A． B．
C． D．
3．若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是( )
A．3 B．4
C．4 D．2
4．函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为________．课时作业(十二) 基本不等式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
D [3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D．]
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取得最大值25，故选B．]
3．若0A．b>>a> B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
C [∵0a＋b，∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>A．
故b>>>A．]
4．(多选)下列命题中正确的是( )
A．当x≥1时，x＋≥2
B．当x<0时，x＋≤－2
C．当02
D．当x>2时，＋≥2
ABC [A．由x≥1，得x＋≥2＝2，等号成立的条件是x＝ x＝1，故A正确；B．当x<0时，－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，所以x<0时，x＋≤－2，等号成立的条件是x＝－1，故B正确；C正确；D．当x>2时，＋≥2＝2，等号成立的条件是＝，即x＝2，但条件是x>2，所以等号取不到，所以＋>2，故D不正确．故选ABC．]
5．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab≤ B．ab≤
C．≥ D．≤
ABC [由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤，∴≥，故选ABC．]
6．若ab>0，则＋≥2取等号的条件是________．
解析： 由＋≥2＝2知，当＝，即b＝3a时取等号．
答案： b＝3a
7．已知m，n>0，且m＋n＝16，则mn的最大值为________．
解析： ∵m，n>0，且m＋n＝16，
∴由均值不等式可得mn≤＝＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
答案： 32
8．若a>0，x>0，且a为常数，则y＝x＋有最_______________________________
值，其值为________．
解析： 因为a>0，x>0，
所以x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号．
答案： 小
9．(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值．
解析： (1)∵x>0，∴x＋≥4，
∴y＝2－≤2－4＝－2.
当且仅当x＝(x>0)，
即x＝2时取等号，ymax＝－2.
(2)因为x<，所以2x－5<0，
所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤－2＋4＝2，
当且仅当5－2x＝，即x＝2时等号成立．
所以y＝2x－1＋的最大值为2.
10．已知x，y都是正数．
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值．
解析： (1)∵3x＋2y＝12，
∴xy＝·3x·2y≤×＝6，
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立．
∴xy取得最大值为6.
(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，
∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋，
当且仅当＝，
即x＝3－3，y＝3－时取等号，
∴＋的最小值为1＋.
[能力提升]
11．设a>0，则a＋的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．5
D [∵a>0，∴a＋＝a＋1＋≥1＋2＝5，当且仅当a＝2时取等号，所以a＋的最小值为5.故选D．]
12．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
C [实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立．故选C．]
13．(2021·辽宁模拟)若a>0，b>0且2ab＝2a＋b＋3，则2a＋b的最小值为________．
解析： ∵a>0，b>0且2ab＝2a＋b＋3，
∴2a＋b≥2＝2，
∴(2a＋b)2－4(2a＋b)－12≥0，
∴2a＋b≥6或2a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝，b＝3时，等号成立，
∴2a＋b的最小值为6.
答案： 6
14．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为_________________________________________，
此时函数y＝的最小值为________．
解析： 由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3，
即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍去)，
∴k＝1，y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．
答案： 1 3
15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解析： (1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
16．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．
解析： ∵(x＋y)＝1＋a＋＋，
又x>0，y>0，a>0，∴＋≥2＝2，
∴1＋a＋＋≥1＋a＋2，
当且仅当y＝x时，等号成立．∴要使(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2≥9恒成立即可．
∴a≥4，当且仅当x＝1，y＝2时，等号成立，故a的最小值为4.课时作业(十二) 基本不等式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
3．若0A．b>>a> B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
4．(多选)下列命题中正确的是( )
A．当x≥1时，x＋≥2
B．当x<0时，x＋≤－2
C．当02
D．当x>2时，＋≥2
5．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab≤ B．ab≤
C．≥ D．≤
6．若ab>0，则＋≥2取等号的条件是________．
7．已知m，n>0，且m＋n＝16，则mn的最大值为________．
8．若a>0，x>0，且a为常数，则y＝x＋有最_______________________________
值，其值为________．
9．(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值．
10．已知x，y都是正数．
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值．
11．设a>0，则a＋的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．5
12．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
13．(2021·辽宁模拟)若a>0，b>0且2ab＝2a＋b＋3，则2a＋b的最小值为________．
14．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为_________________________________________，
15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
16．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．