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第二章
一元二次函数、方程和不等式
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（十三）
谢谢观看！第2课时 基本不等式的应用
应用1 应用基本不等式证明不等式
(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，
求证：a＋b＋c>＋＋.
(2)已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
证明： (1)因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，
所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以等号不能取得，
故a＋b＋c>＋＋.
(2)因为x，y，z都是正数，x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2，所以(x＋y)(y＋x)(z＋x)≥8xyz.
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用．
即时练1.设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA．
证明： ∵a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，
c2＋a2≥2ac，
当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立，三式相加得
2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA．
即时练2.已知a>b，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：
≥8.
证明： 因为a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
应用2 基本不等式的实际应用
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
解析： (1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·＋800·＝150(0
(2)由(1)得y＝150≥300＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少．
应用基本不等式解决实际问题的方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案．
即时练3.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
解析： 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
方法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．即Smax＝，由解得故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大．
方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.因为x>0，所以00，S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大．
创新题型 借助几何图形验证基本不等式
(多选)(2021·安徽马鞍山二中高一(上)期中考试)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后来西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥ab(a>0，b>0)
C．≥(a>0，b>0)
D．≥(a>0，b>0)
AC [根据图形，在Rt△ABD中，CD2＝AC·BC＝aB．由于OD≥CD，所以≥(a>0，b>0).在Rt△OCD中，CD2＝DE·OD，所以DE＝＝＝.由于CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0).故选AC．]
借助几何图形验证基本不等式的关注点
(1)明确所证不等式中代数式的含义，挖掘几何图形蕴含的不等关系，如三角形中大边对大角、两边之和大于第三边等．
(2)充分利用几何图形，找到有关线段的关系，并进行恰当的转化．
即时练4.(2021·汕头高一检测)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动．设AC＝a，BC＝b，则由FC≥OF可以直接证明的不等式为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
D [不妨设点C在半径OB上运动．
由图形可知：OF＝AB＝，OC＝.
在Rt△OCF中，由勾股定理可得
CF＝＝，
∵FC≥OF，∴≤(a>0，b>0).故选D．]
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcD．
证明： 因为a，b，c，d都是正数，
所以ab＋cd≥2，ac＋bd≥2，
于是(ab＋cd)(ac＋bd)≥2·2＝4abcD．
当且仅当ab＝cd，且ac＝bd时等号成立．
故(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcD．
2．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．
解析： 设矩形菜园的长和宽分别为x m，y m，x>0，y>0，面积为S m2，由题意得2(x＋y)＝36，∴x＋y＝18.∵x>0，y>0，∴S＝xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时取“＝”，
∴当长和宽都为9 m时，菜园面积最大，最大面积为81 m2.第2课时 基本不等式的应用
应用1 应用基本不等式证明不等式
(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，
求证：a＋b＋c>＋＋.
(2)已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用．
即时练1.设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA．
即时练2.已知a>b，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：
≥8.
应用2 基本不等式的实际应用
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
应用基本不等式解决实际问题的方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案．
即时练3.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
创新题型 借助几何图形验证基本不等式
(多选)(2021·安徽马鞍山二中高一(上)期中考试)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后来西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥ab(a>0，b>0)
C．≥(a>0，b>0)
D．≥(a>0，b>0)
借助几何图形验证基本不等式的关注点
(1)明确所证不等式中代数式的含义，挖掘几何图形蕴含的不等关系，如三角形中大边对大角、两边之和大于第三边等．
(2)充分利用几何图形，找到有关线段的关系，并进行恰当的转化．
即时练4.(2021·汕头高一检测)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动．设AC＝a，BC＝b，则由FC≥OF可以直接证明的不等式为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcD．
2．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．课时作业(十三) 基本不等式的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知正实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为( )
A．1 B． C．2 D．4
D [∵ab＝a＋b≥2，()2≥2，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故ab的最小值为4.]
2．设0A． B．a2＋b2 C．2ab D．a
B [方法一：因为02a，
所以a<，又因为a2＋b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2aB．又因为1＝a＋b>2，所以ab<，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，
即a2＋b2>，故选B．
方法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝.因为>>>.
所以a2＋b2最大，故选B．]
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
C [设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4 xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号).
故该容器的最低总造价是160元．故选C．]
4．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA．aC．AD [设甲、乙两地之间的距离为s.∵a0，∴v>a，∴a5．(多选)(2021·江苏南通中学高二期中)若实数a>0，b>0，ab＝1，则下列选项的不等式中，正确的是( )
A．a＋b≥2 B．＋≥2
C．a2＋b2≥2 D．＋≤2
ABC [因为实数a>0，b>0，ab＝1，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确；a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确．故选ABC．]
6．已知a>b>c，则与的大小关系是____________．
解析： 易知(a－b)(b－c)≤＝(当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立).因为a>b>c，所以≤.
答案： ≤
7．在等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
解析： 设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°可得a＋b＝BC＝1，且≤a≤，≤b≤，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
答案：
8．(2021·安徽宿州十三所省重点中学高一(上)期末考试)某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费＋库存费)最低，则每年进货次数为________．
解析： 由题可得nx＝6 000，每年的手续费为300n元，库存费为×10＝5x＝(元)，
则总费用为元，
因为n>0，所以300n＋≥2＝6 000，
当且仅当300n＝，即n＝10时，总费用最低，最低总费用为6 000元．
答案： 10
9．(1)已知a，b都是正数，求证：≥4.
(2)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
证明： (1)因为a>0，b>0，
所以a＋≥2＝2，b＋≥2＝2.
由不等式的性质，得≥4，当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立．
(2)左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)；
＋≥2(当且仅当a＝c时，等号成立)；＋≥2(当且仅当b＝c时，等号成立).
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时，等号成立).
∴＋＋－3≥3，即＋＋≥3.
10．某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6 t，每吨大米的价格为6 000元，计划x天购买一次大米．若大米的保管费用z(单位：元)与x的关系为z＝9x(x＋1)(x∈N*)，每次购买大米需支付其他固定费用900元．问：该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解析： 设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋0.6×6 000
＝＋9x＋3 609≥2＋3 609＝180＋3 609＝3 789，
当且仅当＝9x，即x＝10时取等号．
则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．
[能力提升]
11．设x>0，y>0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是( )
A． B． C．2 D．2
B [由≥，
得＋≤2＝，
当且仅当x＝y＝时等号成立．
所以a≥.故选B．]
12.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是( )
A．(a＋b)2≥4ab
B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a－b)2≤4ab
D．(a＋b)2>(a－b)2
C [由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2>(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定．因此C选项错误．]
13．(2021·云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是( )
A． B． C．1 D．2
B [设两个正方形的边长分别为x，y，
则x>0，y>0，且x＋y＝1，
由基本不等式可得x2＋y2≥2xy，
所以2(x2＋y2)≥x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝1，
所以x2＋y2≥，当且仅当x＝y＝时，等号成立，因此，两个正方形的面积之和x2＋y2的最小值为.故选B．]
14．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析： 由题意得一年的总运费与总存储费用之和为4x＋×6＝4≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立．
答案： 30
15．(2021·长沙高一检测)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
证明： (1)因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以ab≤＝，所以ab≤，
所以＋＋＝＋＝≥8，当且仅当a＝b＝时等号成立．
(2)＝＋＋＋1，
由(1)可知＋＋≥8，
所以＋＋＋1≥9，
即≥9.
16．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x m，宽为y m.
(1)若菜园面积为72 m2，则x，y为何值时，所用篱笆总长度最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30 m，求＋的最小值．
解析： (1)由已知可得xy＝72，而篱笆总长为(x＋2y)m.
因为x＋2y≥2＝24，当且仅当x＝2y，
即x＝12，y＝6时等号成立，
所以菜园的长为12 m，宽为6 m时，所用篱笆总长度最小．
(2)由已知得x＋2y＝30，
则(x＋2y)＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当x＝y，
即x＝10，y＝10时等号成立，
所以＋≥，
所以＋的最小值是.课时作业(十三) 基本不等式的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知正实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为( )
A．1 B． C．2 D．4
2．设0A． B．a2＋b2 C．2ab D．a
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
4．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA．aC．
5．(多选)(2021·江苏南通中学高二期中)若实数a>0，b>0，ab＝1，则下列选项的不等式中，正确的是( )
A．a＋b≥2 B．＋≥2
C．a2＋b2≥2 D．＋≤2
6．已知a>b>c，则与的大小关系是____________．
7．在等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
8．(2021·安徽宿州十三所省重点中学高一(上)期末考试)某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费＋库存费)最低，则每年进货次数为________．
9．(1)已知a，b都是正数，求证：≥4.
(2)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
10．某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6 t，每吨大米的价格为6 000元，计划x天购买一次大米．若大米的保管费用z(单位：元)与x的关系为z＝9x(x＋1)(x∈N*)，每次购买大米需支付其他固定费用900元．问：该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？
12.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是( )
A．(a＋b)2≥4ab
B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a－b)2≤4ab
D．(a＋b)2>(a－b)2
13．(2021·云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是( )
A． B． C．1 D．2
14．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
15．(2021·长沙高一检测)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
16．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x m，宽为y m.
(1)若菜园面积为72 m2，则x，y为何值时，所用篱笆总长度最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30 m，求＋的最小值．