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高中数学人教A版（2019）必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式及其解法（共打包5份）

文档属性

名称 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式及其解法（共打包5份）
格式 zip
文件大小 2.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版（2019）
科目 数学
更新时间 2023-08-04 17:51:01

文档简介

(共41张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
未知数
2
{x|xx2}
R
{x|x1

综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（十四）
谢谢观看！
y
0
-3
1-2
X
x11
2
-3
0
X2
X
①
2
y
1
0
1
1
X
2
二次项系数若含有参数，则应讨论
该参数是等于0，小于0，还是大
讨论二次
于0，若等于0，则直接代入求解；
项系数
若小于0，则将不等式转化为二次
项系数为正的形式再求解
判断方程
讨论判别式△与0的关系
根的个数
确定方程无根时可直接写出解集；
写出解集
确定方程有两个根时，判断两根的
大小关系，从而确定解集2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
[学习目标]　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
第1课时　一元二次不等式及其解法
知识点一　一元二次不等式的概念
[问题导引]　给出下面四个不等式：
(1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0；
(3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5<0.
这四个不等式，共同点是什么？
提示：　都含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
[点拨]　一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数).
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案：　②④
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
[问题导引]　下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象．
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出使一元二次不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0的解集吗？
提示：　x1＝－2或x2＝3；{x|x<－2或x>3}，{x|－2≤x≤3}．
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1(链接教材P52例1，例2，例3)解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
解析：　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为{x或x≥).
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示．
由图可得原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为 .
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正．
(2)判别式：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式．
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象．
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．　　
即时练1.解下列不等式：
(1)x2＋x<0；
(2)4x2－4x＋1>0；
(3)x2－3x＋2>0.
解析：　(1)不等式x2＋x<0可化为x(x＋1)<0，
解得－1所以不等式的解集为{x|－1(2)易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示．
由图可得原不等式的解集为.
(3)不等式x2－3x＋2>0可化为(x－1)(x－2)>0，
解得x<1或x>2.
所以不等式的解集为{x|x<1或x>2}．
含参数的一元二次不等式的解法
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a<1)
解析：　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当01时，解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0.
解含参数的一元二次不等式的步骤
[提醒]　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．　　
即时练2.解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.
解析：　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则：
当a<－1时，原不等式解集为{x|a当a＝－1时，原不等式解集为 ；
当a>－1时，原不等式解集为{x|－1交汇创新　三个“二次”之间的交汇
已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x}，求2x2＋bx＋a<0的解集．
解析：　因为ax2＋bx＋2>0的解集为{x}，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋2开口向下，
所以－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系得
解得
所以2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，
即x2－x－6<0，
所以(x－3)(x＋2)<0，解得－2所以2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2三个“二次”之间的关系
解决一元二次方程和一元二次不等式问题时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，三者关系如下：
[提醒]　易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集．
即时练3.关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．{x|－1C．{x|x<1或x>3} D．{x|x<－1或x>3}
D　[因为不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，
所以a>0，＝1，
所以(ax＋b)(x－3)>0等价于a(x＋1)(x－3)>0，其解集应为{x|x>3或x<－1}，故选D．]
1．(2021·重庆渝东八校高一期中联考)不等式x2＋x－2>0的解集为(　　)
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－1或x>2}
C　[由x2＋x－2>0可得(x＋2)(x－1)>0，
所以x<－2或x>1，
故不等式的解集为{x|x<－2或x>1}，故选C．]
2．不等式(x－1)2A．{x|1C．{x|－4B　[原不等式可化为x2－3x－4<0，即(x＋1)(x－4)<0，解得－13．若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集是{x|0解析：　将原不等式化为x2＋(m－2)x<0，即x(x＋2m－4)<0，故0，2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1.
答案：　1
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
解析：　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，
所以方程x2－2x＋2＝0无实根，
而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
课时作业(十四)　一元二次不等式及其解法
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　)
A．{x|x>0或x<－1} B．{x|x≥0或x≤－1}
C．{x|－1C　[分析知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－12．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
A　[∵(x－1)(2－x)≥0，∴(x－1)(x－2)≤0，
∴解集是{x|1≤x≤2}．故选A．]
3．关于x的不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为(　　)
A．{x|x<2a或x>－3a} B．{x|2aC．{x|x<3a或x>2a} D．{x|3aD　[不等式x2－ax－6a2<0可化为(x－3a)(x＋2a)<0.
∵a<0，∴3a4．(多选)下列不等式中解集是R的是(　　)
A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0
C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0
AB　[－x2＋x－1<0 x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0，
∴A中不等式的解集为R；
4x2＋4x＋1≥0 (2x＋1)2≥0 x∈R，B中不等式解集为R；不等式x2－5x＋6>0中Δ＝25－4×6＝1>0.
∴C中不等式的解集不是R；
不等式(a2＋1)x2＋ax－1>0中Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0，
∴D中不等式的解集不是R.故选AB．]
5．(多选)(2021·江苏无锡一中高一(上)期中考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>}
ABD　[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，所以a>0，A选项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得，则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即－2ax－8a>0，解得x<－4，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即－8ax2＋2ax＋a<0，即8x2－2x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ABD．]
6．不等式6－x－2x2<0的解集是________________．
解析：　不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为.
答案：　
7．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________________．
解析：　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5A．因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5A．结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．
答案：　{x|x<5a或x>－a}
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
解析：　根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．
由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．
答案：　{x|x<－2或x>3}
9．解下列不等式．
(1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
(2)0≤x2－2x－3<5.
解析：　(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
(2)由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－210．(2021·山东济宁高一期中)解关于x的不等式(a－x)(x－a2)<0，a∈R.
解析：　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
[能力提升]
11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　)
A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}
B．当a>0时，不等式的解集为{x或x<－}
C．当a＝－时，不等式的解集为R
D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2ABD　[不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；
当a>0时，不等式的解集为，故B正确；
当a＝－时，不等式为x2－4x＋8<0，
Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误；
当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，
不等式的解集为{x|212．(多选)(2021·云南昆明盘龙区高一(上)期末检测)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1，x2且x1A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|xx2}
C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
AD　[当a>0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x10的解集为{x|x10.故C错误，D正确．故选AD．]
13．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是________________．
解析：　方程(m－x)(n＋x)>0的两根为m，－n.∵m＋n>0，∴m>－n.结合二次函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n答案：　{x|－n14．(2021·四川省成都市期末)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3解析：　∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系得
即
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，易知其解集为{x|－3故所求的不等式的解集为{x|－3答案：　{x|－315．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.
解析：　(1)当a＝2时，y≤0，即2x2－5x＋2≤0，
可得(2x－1)(x－2)≤0，
∴≤x≤2，∴y≤0的解集为.
(2)不等式y≤0即ax2－(2a＋1)x＋2≤0，
可化为a(x－2)≤0.
①当02，解得2≤x≤；
②当a＝时，有＝2，解得x＝2；
③当a>时，有<2，解得≤x≤2.
综上：①当0②当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；
③当a>时，不等式的解集为.
16．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式(x－c)(ax－b)>0.
解析：　(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1和x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
把x1＝1代入方程得a×12－3×1＋2＝0，解得a＝1，
所以方程为x2－3x＋2＝0，
由根与系数的关系得1×b＝2，解得b＝2.
综上，a＝1，b＝2.
(2)由(1)可知，原不等式为(x－c)(x－2)>0.
方程(x－c)(x－2)＝0的两个根为x1＝c，x2＝2.
当c<2时，不等式的解集为{x|x2}；当c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}；当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}．2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
第1课时　一元二次不等式及其解法
知识点一　一元二次不等式的概念
　给出下面四个不等式：
(1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0；
(3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5<0.
这四个不等式，共同点是什么？
提示：　都含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
　一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数).
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
　下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象．
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出使一元二次不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0的解集吗？
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1(链接教材P52例1，例2，例3)解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正．
(2)判别式：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式．
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象．
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．　　
即时练1.解下列不等式：
(1)x2＋x<0；
(2)4x2－4x＋1>0；
(3)x2－3x＋2>0.
含参数的一元二次不等式的解法
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a<1)
解含参数的一元二次不等式的步骤
　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．　　
即时练2.解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.
交汇创新　三个“二次”之间的交汇
已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x}，求2x2＋bx＋a<0的解集．
三个“二次”之间的关系
解决一元二次方程和一元二次不等式问题时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，三者关系如下：
　易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集．
即时练3.关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．{x|－1C．{x|x<1或x>3} D．{x|x<－1或x>3}
　
1．(2021·重庆渝东八校高一期中联考)不等式x2＋x－2>0的解集为(　　)
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－1或x>2}
　
2．不等式(x－1)2A．{x|1C．{x|－4　
3．若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集是{x|04．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
课时作业(十四)　一元二次不等式及其解法
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　)
A．{x|x>0或x<－1} B．{x|x≥0或x≤－1}
C．{x|－1　
2．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
　
3．关于x的不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为(　　)
A．{x|x<2a或x>－3a} B．{x|2aC．{x|x<3a或x>2a} D．{x|3a　
4．(多选)下列不等式中解集是R的是(　　)
A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0
C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0
　
5．(多选)(2021·江苏无锡一中高一(上)期中考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>}
　
6．不等式6－x－2x2<0的解集是________________．
7．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________________．
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
解析：　根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．
由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．
9．解下列不等式．
(1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
(2)0≤x2－2x－3<5.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
(2)由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－210．(2021·山东济宁高一期中)解关于x的不等式(a－x)(x－a2)<0，a∈R.
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　)
A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}
B．当a>0时，不等式的解集为{x或x<－}
C．当a＝－时，不等式的解集为R
D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2　
12．(多选)(2021·云南昆明盘龙区高一(上)期末检测)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1，x2且x1A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|xx2}
C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
　
13．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是________________．
14．(2021·四川省成都市期末)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系得
即
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，易知其解集为{x|－3故所求的不等式的解集为{x|－315．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.
可得(2x－1)(x－2)≤0，
∴≤x≤2，∴y≤0的解集为.
(2)不等式y≤0即ax2－(2a＋1)x＋2≤0，
可化为a(x－2)≤0.
①当02，解得2≤x≤；
②当a＝时，有＝2，解得x＝2；
③当a>时，有<2，解得≤x≤2.
综上：①当0②当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；
③当a>时，不等式的解集为.
16．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式(x－c)(ax－b)>0.
把x1＝1代入方程得a×12－3×1＋2＝0，解得a＝1，
所以方程为x2－3x＋2＝0，
由根与系数的关系得1×b＝2，解得b＝2.
综上，a＝1，b＝2.
(2)由(1)可知，原不等式为(x－c)(x－2)>0.
方程(x－c)(x－2)＝0的两个根为x1＝c，x2＝2.
当c<2时，不等式的解集为{x|x2}；当c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}；当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}．课时作业(十四)　一元二次不等式及其解法
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　)
A．{x|x>0或x<－1} B．{x|x≥0或x≤－1}
C．{x|－1C　[分析知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－12．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
A　[∵(x－1)(2－x)≥0，∴(x－1)(x－2)≤0，
∴解集是{x|1≤x≤2}．故选A．]
3．关于x的不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为(　　)
A．{x|x<2a或x>－3a} B．{x|2aC．{x|x<3a或x>2a} D．{x|3aD　[不等式x2－ax－6a2<0可化为(x－3a)(x＋2a)<0.
∵a<0，∴3a4．(多选)下列不等式中解集是R的是(　　)
A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0
C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0
AB　[－x2＋x－1<0 x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0，
∴A中不等式的解集为R；
4x2＋4x＋1≥0 (2x＋1)2≥0 x∈R，B中不等式解集为R；不等式x2－5x＋6>0中Δ＝25－4×6＝1>0.
∴C中不等式的解集不是R；
不等式(a2＋1)x2＋ax－1>0中Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0，
∴D中不等式的解集不是R.故选AB．]
5．(多选)(2021·江苏无锡一中高一(上)期中考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>}
ABD　[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，所以a>0，A选项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得，则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即－2ax－8a>0，解得x<－4，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即－8ax2＋2ax＋a<0，即8x2－2x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ABD．]
6．不等式6－x－2x2<0的解集是________________．
解析：　不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为.
答案：　
7．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________________．
解析：　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5A．因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5A．结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．
答案：　{x|x<5a或x>－a}
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
解析：　根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．
由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．
答案：　{x|x<－2或x>3}
9．解下列不等式．
(1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
(2)0≤x2－2x－3<5.
解析：　(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
(2)由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－210．(2021·山东济宁高一期中)解关于x的不等式(a－x)(x－a2)<0，a∈R.
解析：　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
[能力提升]
11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　)
A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}
B．当a>0时，不等式的解集为{x或x<－}
C．当a＝－时，不等式的解集为R
D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2ABD　[不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；
当a>0时，不等式的解集为，故B正确；
当a＝－时，不等式为x2－4x＋8<0，
Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误；
当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，
不等式的解集为{x|212．(多选)(2021·云南昆明盘龙区高一(上)期末检测)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1，x2且x1A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|xx2}
C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
AD　[当a>0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x10的解集为{x|x10.故C错误，D正确．故选AD．]
13．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是________________．
解析：　方程(m－x)(n＋x)>0的两根为m，－n.∵m＋n>0，∴m>－n.结合二次函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n答案：　{x|－n14．(2021·四川省成都市期末)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3解析：　∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系得
即
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，易知其解集为{x|－3故所求的不等式的解集为{x|－3答案：　{x|－315．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.
解析：　(1)当a＝2时，y≤0，即2x2－5x＋2≤0，
可得(2x－1)(x－2)≤0，
∴≤x≤2，∴y≤0的解集为.
(2)不等式y≤0即ax2－(2a＋1)x＋2≤0，
可化为a(x－2)≤0.
①当02，解得2≤x≤；
②当a＝时，有＝2，解得x＝2；
③当a>时，有<2，解得≤x≤2.
综上：①当0②当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；
③当a>时，不等式的解集为.
16．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式(x－c)(ax－b)>0.
解析：　(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1和x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
把x1＝1代入方程得a×12－3×1＋2＝0，解得a＝1，
所以方程为x2－3x＋2＝0，
由根与系数的关系得1×b＝2，解得b＝2.
综上，a＝1，b＝2.
(2)由(1)可知，原不等式为(x－c)(x－2)>0.
方程(x－c)(x－2)＝0的两个根为x1＝c，x2＝2.
当c<2时，不等式的解集为{x|x2}；当c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}；当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}．课时作业(十四)　一元二次不等式及其解法
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　)
A．{x|x>0或x<－1} B．{x|x≥0或x≤－1}
C．{x|－1　
2．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
　
3．关于x的不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为(　　)
A．{x|x<2a或x>－3a} B．{x|2aC．{x|x<3a或x>2a} D．{x|3a　
4．(多选)下列不等式中解集是R的是(　　)
A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0
C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0
　
5．(多选)(2021·江苏无锡一中高一(上)期中考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>}
　
6．不等式6－x－2x2<0的解集是________________．
7．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________________．
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
9．解下列不等式．
(1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
(2)0≤x2－2x－3<5.
10．(2021·山东济宁高一期中)解关于x的不等式(a－x)(x－a2)<0，a∈R.
11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　)
A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}
B．当a>0时，不等式的解集为{x或x<－}
C．当a＝－时，不等式的解集为R
D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2　
12．(多选)(2021·云南昆明盘龙区高一(上)期末检测)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1，x2且x1A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|xx2}
C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x10
　
13．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是________________．
14．(2021·四川省成都市期末)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－315．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.
16．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式(x－c)(ax－b)>0.
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