(共24张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
章末综合提升
思维导图 体系构建
核心素养 能力培优
单 元 综 合 评 价（二）
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13m章末综合提升
素养一 逻辑推理
逻辑推理主要表现为：掌握推理的基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，逻辑推理在本章中主要体现在：(1)利用不等式的性质推出结论；(2)利用基本不等式推出有关结论．
题型一 不等式的性质及应用
1．(多选)下列命题正确的有( )
A．若a＞1，则＜1
B．若a＋c＞b，则＜
C．对任意实数a，都有a2≥a
D．若ac2＞bc2，则a＞b
AD [因为a＞1，所以＜1，所以A正确；若a＋c＞b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有＞，故B错误；对于C，可取a＝，则a2＜a，故C错误；因为ac2 ＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故D正确．]
2．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．＜b B．a2＞b2
C．＞ D．a|c|＞b|c|
C [取a＝1，b＝－1，排除选项A；取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然＞0，对不等式a＞b的两边同时乘成立．故选C．]
题型二 不等式的证明
3．已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋C．
证明： 因为a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
故＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
4．已知a>b>0，d证明： 因为a＞b＞0，所以a2＞b2.因为d＜c＜0，所以－d＞－c＞0，
所以＞＞0，所以＞，即＜＜0，
所以＜成立．
素养二 数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等．
题型三 解不等式
5．解下列关于x的不等式(组)：
(1)≥0；
(2)m2x2＋2mx－3＜0.
解析： (1)原不等式可化为≤0，所以
所以即－＜x≤1.
故原不等式的解集为{x|－＜x≤1}．
(2)当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)＜0.
当m＞0时，解集为；
当m＜0时，解集为.
题型四 利用基本不等式求最值
6．(1)已知函数y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
(2)已知－1＜x＜3，则y＝(1＋x)(3－x)的最大值是________．
(3)(2021·江苏南通高一期末)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则＋的最小值为________．
解析： (1)因为x＞0，a＞0，所以y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，y取得最小值．又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.
(2)因为－1＜x＜3，所以1＋x＞0，3－x＞0，所以≤＝2.
所以(1＋x)(3－x)≤4，当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号．
(3)因为正数a，b满足a＋2b＝1，所以＋＝(a＋2b)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
答案： (1)36 (2)4 (3)9
素养三 数学建模
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题．
题型五 构建一元二次不等式模型解决实际问题
7．某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为________．
解析： 根据题意，有100≥1 500，
即5x2－14x－3≥0，得x≥3或x≤－，
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
答案： {x|3≤x≤10}
题型六 构建基本不等式模型解决实际问题
8．如图，某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前墙内侧保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解析： 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为 m，因此种植蔬菜的区域一边长为(x－4)m，另一边长为m.
由得4＜x＜400，所以其面积S＝(x－4)·＝808－≤808－2＝808－160＝648，当且仅当2x＝，即x＝40时，等号成立．
因此当矩形温室的两边长分别为40 m，20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
单元综合评价(二) 一元二次函数、方程和不等式
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A．x≥2y B．x＞2y C．x≤2y D．x＜2y
B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B．]
2．已知M＝a2＋a，N＝3a－1，则( )
A．MN
C．M≤N D．M≥N
D [由题意可得M－N＝a2＋a－(3a－1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，则M≥N.故选D．]
3．(2021·湖北武汉高一期中)不等式4＋3x－x2＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜－1}
C．{x|x＞1或x＜－4} D．{x|－4＜x＜1}
B [不等式4＋3x－x2＜0可化为x2－3x－4＞0，即(x＋1)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜－1.故所求不等式的解集为{x|x＞4或x＜－1}．故选B．]
4．(2021·山东济宁曲阜第一中学高一月考)已知a＜0，－1＜b＜0，则( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
D [∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，0＜b2＜1，
∴a＜ab2＜0，∴ab＞ab2＞A．故选D．]
5．若关于x的一元二次不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－1或m≥1 B．－1≤m≤1
C．m＜－1或m＞1 D．－1＜m＜1
B [因为不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝4m2－4≤0，解得－1≤m≤1.]
6．若＜＜0，则下列结论不正确的是( )
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
D [∵＜＜0，∴b＜a＜0，
∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴A，B，C中的结论均正确．
∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝－a－b＝－(a＋b)＝|a＋b|，故D中的结论错误，故选D．]
7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C [设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，
所以每件售价应定为12元到16元之间．]
8．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
C [因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列不等式中解集为R的是( )
A．x2＋x＋1＞0 B．x2－x＋1＞0
C．x2＋x－1＞0 D．x2－x－1＞0
AB [只需Δ＜0即可，只有选项A，B中的满足要求．故选AB．]
10．若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有( )
A．xy＜y2 B．x2＞y2
C．＞1 D．＜
BCD [∵x，y为正实数且x＞y，∴xy＞y2，故A错；∵x，y为正实数且x＞y，∴x－y＞0，x＋y＞0，∴(x－y)(x＋y)＝x2－y2＞0，即x2＞y2，故B正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴·x＞·y，即＞1，故C正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴x＞x－y＞0，∴＞，即＜，故D正确．]
11．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
ACD [设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D成立．故选ACD．]
12．(2021·山东菏泽六校高一期中)下列叙述中不正确的是( )
A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
ABC [A选项中，当a＝－1，b＝0，c＝0时，b2－4ac≤0，但ax2＋bx＋c≤0，故A中叙述错误；B选项中，当a＝1，b＝0，c＝0时，a＞b，但ac2＝bc2，故B中叙述错误；C选项中，方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根等价于，解得a＜0，所以“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充要条件，故C中叙述错误；D选项中，因为a＞1 ＜1，所以充分性成立，因为＜1 a＜0或a＞1，所以必要性不成立，故D中叙述正确．故选ABC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若t＞2，则关于x的不等式(x－t)＜0的解集为________．
解析： 因为t＞2，所以t＞，
所以(x－t)＜0，解得＜x＜t.
答案：
14．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a大2.则这个两位数为________．
解析： 由题意知
解得4＜a＜5.又a∈N*，∴a＝5.
∴b＝7，∴所求的两位数为57.
答案： 57
15．设x＞0，则的最小值为________．
解析： 由x＞0，可得x＋1＞1.
令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．
答案： 2－1
16．一元二次不等式x2＋ax＋b＞0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b＜0的解集为________．
解析： 由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
所以解得
故a＋b＝－1.
不等式ax＋b＜0即为2x－3＜0，所以x＜.
答案： －1
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
(2)＞1.
解析： (1)原不等式可化为2x2－x－1≥0.所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为－1＞0，所以＞0，所以＞0，则x＜－2.故原不等式的解集为{x|x＜－2}．
18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2－4x＋4，求函数在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t).
解析： 因为f(x)＝x2－4x＋4的图象开口向上，对称轴x＝2，
当t＋1≤2，即t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，g(t)＝f(t＋1)＝(t－1)2，
当t≥2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，g(t)＝f(t)＝(t－2)2，
当t<2故g(t)＝
19．(2021·安徽滁州高一月考)(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．
解析： (1)证明：∵a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，∴a2＋3b2≥2b(a＋b).
(2)∵a＞0，b＞0，∴2ab＝a＋b≥2，即2ab≥2，
∴≥1，∴ab≥1，
当且仅当a＝b＝1时取等号，故ab的最小值为1.
20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解析： (1)因为不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两个根且k＜0.
由根与系数的关系得解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
若k＝0，则－2x<0，即x>0，不符合题意，
所以
即
所以k＜－.即k的取值范围是k＜－.
21．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
解析： (1)因为a＞0，b＞0且＋＝1，
所以＋≥2＝2，则2≤1，即ab≥8，当且仅当
即时取等号，所以ab的最小值是8.
(2)因为a＞0，b＞0且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当即时取等号，所以a＋b的最小值是3＋2.
22．(2021·江西九江高一(上)期末考试)(本小题满分12分)某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元．
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润．
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地．
问该水产养殖户会选择哪种方案？
解析： (1)由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即，解得a＝3，c＝0，
所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243(x∈N*).
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27(x∈N*)，
所以从第4年开始获得纯利润．
(2)方案①：
年平均利润t＝＝90－3(＋x)≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号，所以当x＝9时，t取最大值36，
此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462(万元).
方案②：
纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3(x－15)2＋432(x∈N*)，
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462(万元).
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.章末综合提升
素养一 逻辑推理
逻辑推理主要表现为：掌握推理的基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，逻辑推理在本章中主要体现在：(1)利用不等式的性质推出结论；(2)利用基本不等式推出有关结论．
题型一 不等式的性质及应用
1．(多选)下列命题正确的有( )
A．若a＞1，则＜1
B．若a＋c＞b，则＜
C．对任意实数a，都有a2≥a
D．若ac2＞bc2，则a＞b
2．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．＜b B．a2＞b2
C．＞ D．a|c|＞b|c|
题型二 不等式的证明
3．已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋C．
4．已知a>b>0，d素养二 数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等．
题型三 解不等式
5．解下列关于x的不等式(组)：
(1)≥0；
(2)m2x2＋2mx－3＜0.
题型四 利用基本不等式求最值
6．(1)已知函数y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
(2)已知－1＜x＜3，则y＝(1＋x)(3－x)的最大值是________．
(3)(2021·江苏南通高一期末)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则＋的最小值为________．
素养三 数学建模
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题．
题型五 构建一元二次不等式模型解决实际问题
7．某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为________．
题型六 构建基本不等式模型解决实际问题
8．如图，某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前墙内侧保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
单元综合评价(二) 一元二次函数、方程和不等式
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A．x≥2y B．x＞2y C．x≤2y D．x＜2y
2．已知M＝a2＋a，N＝3a－1，则( )
A．MN
C．M≤N D．M≥N
3．(2021·湖北武汉高一期中)不等式4＋3x－x2＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜－1}
C．{x|x＞1或x＜－4} D．{x|－4＜x＜1}
4．(2021·山东济宁曲阜第一中学高一月考)已知a＜0，－1＜b＜0，则( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
5．若关于x的一元二次不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－1或m≥1 B．－1≤m≤1
C．m＜－1或m＞1 D．－1＜m＜1
6．若＜＜0，则下列结论不正确的是( )
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
，
8．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列不等式中解集为R的是( )
A．x2＋x＋1＞0 B．x2－x＋1＞0
C．x2＋x－1＞0 D．x2－x－1＞0
10．若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有( )
A．xy＜y2 B．x2＞y2
C．＞1 D．＜
11．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
12．(2021·山东菏泽六校高一期中)下列叙述中不正确的是( )
A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若t＞2，则关于x的不等式(x－t)＜0的解集为________．
所以(x－t)＜0，解得＜x＜t.
14．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a大2.则这个两位数为________．
15．设x＞0，则的最小值为________．
16．一元二次不等式x2＋ax＋b＞0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b＜0的解集为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
(2)＞1.
18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2－4x＋4，求函数在区间上的最小值为g(t).
19．(2021·安徽滁州高一月考)(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．
20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
22．(2021·江西九江高一(上)期末考试)(本小题满分12分)某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元．
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润．
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地．
问该水产养殖户会选择哪种方案？单元综合评价(二) 一元二次函数、方程和不等式
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A．x≥2y B．x＞2y C．x≤2y D．x＜2y
B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B．]
2．已知M＝a2＋a，N＝3a－1，则( )
A．MN
C．M≤N D．M≥N
D [由题意可得M－N＝a2＋a－(3a－1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，则M≥N.故选D．]
3．(2021·湖北武汉高一期中)不等式4＋3x－x2＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜－1}
C．{x|x＞1或x＜－4} D．{x|－4＜x＜1}
B [不等式4＋3x－x2＜0可化为x2－3x－4＞0，即(x＋1)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜－1.故所求不等式的解集为{x|x＞4或x＜－1}．故选B．]
4．(2021·山东济宁曲阜第一中学高一月考)已知a＜0，－1＜b＜0，则( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
D [∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，0＜b2＜1，
∴a＜ab2＜0，∴ab＞ab2＞A．故选D．]
5．若关于x的一元二次不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－1或m≥1 B．－1≤m≤1
C．m＜－1或m＞1 D．－1＜m＜1
B [因为不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝4m2－4≤0，解得－1≤m≤1.]
6．若＜＜0，则下列结论不正确的是( )
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
D [∵＜＜0，∴b＜a＜0，
∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴A，B，C中的结论均正确．
∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝－a－b＝－(a＋b)＝|a＋b|，故D中的结论错误，故选D．]
7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C [设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，
所以每件售价应定为12元到16元之间．]
8．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
C [因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列不等式中解集为R的是( )
A．x2＋x＋1＞0 B．x2－x＋1＞0
C．x2＋x－1＞0 D．x2－x－1＞0
AB [只需Δ＜0即可，只有选项A，B中的满足要求．故选AB．]
10．若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有( )
A．xy＜y2 B．x2＞y2
C．＞1 D．＜
BCD [∵x，y为正实数且x＞y，∴xy＞y2，故A错；∵x，y为正实数且x＞y，∴x－y＞0，x＋y＞0，∴(x－y)(x＋y)＝x2－y2＞0，即x2＞y2，故B正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴·x＞·y，即＞1，故C正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴x＞x－y＞0，∴＞，即＜，故D正确．]
11．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
ACD [设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D成立．故选ACD．]
12．(2021·山东菏泽六校高一期中)下列叙述中不正确的是( )
A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
ABC [A选项中，当a＝－1，b＝0，c＝0时，b2－4ac≤0，但ax2＋bx＋c≤0，故A中叙述错误；B选项中，当a＝1，b＝0，c＝0时，a＞b，但ac2＝bc2，故B中叙述错误；C选项中，方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根等价于，解得a＜0，所以“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充要条件，故C中叙述错误；D选项中，因为a＞1 ＜1，所以充分性成立，因为＜1 a＜0或a＞1，所以必要性不成立，故D中叙述正确．故选ABC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若t＞2，则关于x的不等式(x－t)＜0的解集为________．
解析： 因为t＞2，所以t＞，
所以(x－t)＜0，解得＜x＜t.
答案：
14．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a大2.则这个两位数为________．
解析： 由题意知
解得4＜a＜5.又a∈N*，∴a＝5.
∴b＝7，∴所求的两位数为57.
答案： 57
15．设x＞0，则的最小值为________．
解析： 由x＞0，可得x＋1＞1.
令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．
答案： 2－1
16．一元二次不等式x2＋ax＋b＞0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b＜0的解集为________．
解析： 由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
所以解得
故a＋b＝－1.
不等式ax＋b＜0即为2x－3＜0，所以x＜.
答案： －1
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
(2)＞1.
解析： (1)原不等式可化为2x2－x－1≥0.所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为－1＞0，所以＞0，所以＞0，则x＜－2.故原不等式的解集为{x|x＜－2}．
18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2－4x＋4，求函数在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t).
解析： 因为f(x)＝x2－4x＋4的图象开口向上，对称轴x＝2，
当t＋1≤2，即t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，g(t)＝f(t＋1)＝(t－1)2，
当t≥2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，g(t)＝f(t)＝(t－2)2，
当t<2故g(t)＝
19．(2021·安徽滁州高一月考)(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．
解析： (1)证明：∵a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，∴a2＋3b2≥2b(a＋b).
(2)∵a＞0，b＞0，∴2ab＝a＋b≥2，即2ab≥2，
∴≥1，∴ab≥1，
当且仅当a＝b＝1时取等号，故ab的最小值为1.
20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解析： (1)因为不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两个根且k＜0.
由根与系数的关系得解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
若k＝0，则－2x<0，即x>0，不符合题意，
所以
即
所以k＜－.即k的取值范围是k＜－.
21．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
解析： (1)因为a＞0，b＞0且＋＝1，
所以＋≥2＝2，则2≤1，即ab≥8，当且仅当
即时取等号，所以ab的最小值是8.
(2)因为a＞0，b＞0且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当即时取等号，所以a＋b的最小值是3＋2.
22．(2021·江西九江高一(上)期末考试)(本小题满分12分)某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元．
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润．
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地．
问该水产养殖户会选择哪种方案？
解析： (1)由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即，解得a＝3，c＝0，
所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243(x∈N*).
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27(x∈N*)，
所以从第4年开始获得纯利润．
(2)方案①：
年平均利润t＝＝90－3(＋x)≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号，所以当x＝9时，t取最大值36，
此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462(万元).
方案②：
纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3(x－15)2＋432(x∈N*)，
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462(万元).
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.单元综合评价(二) 一元二次函数、方程和不等式
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A．x≥2y B．x＞2y C．x≤2y D．x＜2y
2．已知M＝a2＋a，N＝3a－1，则( )
A．MN
C．M≤N D．M≥N
3．(2021·湖北武汉高一期中)不等式4＋3x－x2＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜－1}
C．{x|x＞1或x＜－4} D．{x|－4＜x＜1}
4．(2021·山东济宁曲阜第一中学高一月考)已知a＜0，－1＜b＜0，则( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
5．若关于x的一元二次不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－1或m≥1 B．－1≤m≤1
C．m＜－1或m＞1 D．－1＜m＜1
6．若＜＜0，则下列结论不正确的是( )
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
，
8．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列不等式中解集为R的是( )
A．x2＋x＋1＞0 B．x2－x＋1＞0
C．x2＋x－1＞0 D．x2－x－1＞0
10．若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有( )
A．xy＜y2 B．x2＞y2
C．＞1 D．＜
11．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
12．(2021·山东菏泽六校高一期中)下列叙述中不正确的是( )
A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若t＞2，则关于x的不等式(x－t)＜0的解集为________．
14．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a大2.则这个两位数为________．
15．设x＞0，则的最小值为________．
16．一元二次不等式x2＋ax＋b＞0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b＜0的解集为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
(2)＞1.
18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2－4x＋4，求函数在区间上的最小值为g(t).
19．(2021·安徽滁州高一月考)(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．
20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
22．(2021·江西九江高一(上)期末考试)(本小题满分12分)某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元．
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润．
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地．
问该水产养殖户会选择哪种方案？
