高中数学北师大版必修第一册 第五章1.2利用二分法求方程的近似解 同步练习（含解析）

利用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．在区间(0,1)上有零点的函数为(　　)
A. f(x)＝x3 B. f(x)＝x3＋2x－2
C. f(x)＝ D. f(x)＝x2＋1
2．下列函数一定能用“二分法”求其零点的是(　　)
A. y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)
B. y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)
C. y＝2x
D. y＝(k≠0，k为常数)
3．用“二分法”可求方程的近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，解的精确度越高
B．ε越大，解的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
4．方程lgx＋2x＝0有实数解的一个区间是(　　)
A. 　　　　　　　 B.
C. D. 不存在
5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间[0,16]，[0,8]，[0,4]，[0,2]内，那么下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间[0,1]内有零点
B．函数f(x)在区间[0,1]或[1,2]内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16]内无零点
D．函数f(x)在区间[1,16]内无零点
6．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝3x－1
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
7. 函数f(x)＝x5＋x－3的零点落在区间(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
二、填空题
1．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精度为0.1)为________.
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054
2．已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精度为0.1)，则一般需要将区间等分的次数为________．
3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2三、解答题
1．利用二分法求x3＋5＝0的根．(精确到0.1)
2．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标，某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行猜价方案来帮助选手猜价吗？
3．求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)．
一、选择题
1.解析　∵对于f(x)＝x3＋2x－2来说，f(0)＝－20，f(1)＝1＋2－2＝1>0，∴f(x)在(0,1)上有零点．
答案　B
2.解析　C，D没有零点，对于y＝ax2＋bx＋c，当Δ＝b2－4ac＝0时，不能用二分法．
答案　A
3.解析　依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，解的精确度越低．
答案　B
4.解析　设f(x)＝lgx＋2x，显然f(x)为增函数，
又f＝－2＋2＜0，f＝－1＋2＞0，
∴lgx＋2x＝0有实数解的区间为.
答案　B
5.解析　由题意得，函数零点在[0,2]内，故在[2,16]内无零点．
答案　C
6.解析　∵g＝＋－2<0，g＝1>0，∴g(x)的零点在，而f(x)＝3x－1的零点为，符合题意．
答案　B
7.解析　f(0)＝－3，f(1)＝－1，f(2)＝31，∴f(1)f(2)<0，∴函数的零点在(1,2)上．
答案　B
二、填空题
1.解析　区间[1,1.5]的长度1.5－1＝0.5，区间[1.25,1.5]的长度1.5－1.25＝0.25，区间[1.25,1.375]的长度1.375－1.25＝0.125，区间[1.375,1.4375]的长度1.4375－1.375＝0.0625<0.1，所以精度为0.1时，
近似解为1.4.
答案　1.4
2.解析　设需等分n次满足要求的精度，则n<0.1，即<，∴n≥4.
∴需要将区间等分4次．
答案　4
3.解析　因为函数f(x)＝logax＋x－b(2logaa＋3－b＝4－b>0，∴x0∈(2,3)即n＝2.
答案　2
三、解答题
1.解　令f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
[－2，－1] －1.5 1.625
[－2，－1.5] －1.75 －0.3594
[－1.75，－1.5] －1.625 0.7090
[－1.75，－1.625] －1.6875 0.1946
[－1.75，－1.6875]
由于区间[－1.75，－1.6875]长度为|－1.6875－(－1.75)|＝0.0625<0.1，故其两个端点均可作为相应函数的零点的近似值，取其近似值为－1.7，故原方程的根为－1.7.
2.解　取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数取整数，照这样的方案游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．
3.解　求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像交点的横坐标，即求方程ln x＝3－x的根，令f(x)＝ln x＋x－3.
∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
∴可取初始区间为(2,3)，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 0.4163
(2,2.5) 2.25 0.0609
(2,2.25) 2.125 －0.1212
(2.125,2.25) 2.1875 －0.0297
(2.1875,2.25) 2.21875 0.0157
由于区间[2.1875,2.25]的长度|2.1875－2.25|＝0.0625<0.1，所以方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的一个近似根可取为2.25，即2.25可作为两函数图像交点的横坐标的近似值．