高中数学北师大版必修第一册第五章1.1利用函数性质判定方程解的存在 同步练习（含解析）

利用函数性质判定方程解的存在
一、选择题
1．函数y＝x2－4x－12的零点是(　　)
A. －2 B. 6
C. －2,6 D. 不存在
2．如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A. 0,2　　 B. 0，　　 C. 0，－　　 D. 2，－
3．若函数y＝x2＋a存在零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. a>0 B. a<0
C. a≥0 D. a≤0
4．已知函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，且满足f(a)·f(b)<0(a，b∈R，aA. 有且只有一个零点 B. 至少有一个零点
C. 无零点 D. 无法确定有无零点
5．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
6．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
7.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
1．若函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的一个零点比1大，另一个零点比1小，则m的取值范围是_________________________________．
2．已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．
3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在x0使f(x0)＝0，则a的取值范围是________．
三、解答题
1．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
2．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围．
(2)若函数有不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
3．已知函数f(x)＝|x2－2x|－a.
(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围．
一、选择题
1.解析　y＝x2－4x－12＝(x－6)(x＋2)．
答案　C
2.解析　由f(x)有一个零点2，可知2a＋b＝0，得b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，有两个零点－，0.
答案　C
3.答案　D
4.解析　函数y＝f(x)在定义域内连续，且满足f(a)·f(b)<0，故函数f(x)在(a，b)内至少有一个零点．
答案　B
5.解析　∵f(x)＝ex＋4x－3在(－∞，＋∞)内单调递增，
又f＝e－4<0，f(0)＝－2<0，
f＝e－2<0，f＝e－1>0，
∴f·f<0.
答案　C
6.解析　令f(x)＝0，得或
∴x＝－3或x＝e2，即方程f(x)＝0有两个根，
∴函数f(x)有两个零点．
答案　A
7.解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝的图像，易知有2个交点．
答案　B
二、填空题
1.解析　由题意得f(1)＝1＋m－3＋m<0，得m<1.
答案　(－∞，1)
2.解析　∵f(2)·f(3)<0，∴在(2,3)上至少有1个零点；同理在(3,4)和(4,5)上各至少有1个零点，∴在[1,6]上至少有3个零点．
答案　3
3.解析　由题意得f(－1)，f(1)必一正一负，
即f(－1)f(1)<0，得a<－1，或a>.
答案　a<－1或a>
三、解答题
1.解　由题意得x2－ax－b＝0有两根2和3，由韦达定理得得
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令g(x)＝0，得6x2＋5x＋1＝0即
(2x＋1)(3x＋1)＝0，得x＝－，或x＝－.
∴g(x)的零点为－，－.
2.解　(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，
y＝－14x－5，恒有零点－.
当m＋6≠0，即m≠－6时，
要使函数恒有零点，
需Δ＝[2(m－1)]2－4(m＋6)·(m＋1)≥0，
解得m≤－.
综上知m≤－.
(2)设函数的两个不同零点是x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题意，得Δ＝[2(m－1)]2－4(m＋6)(m＋1)>0，
且m＋6≠0，
得m<－，且m≠－6.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴＝－4, 得m＝－3，满足m<－.
∴m的值为－3.
3.解　令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图像(如图所示)，由图像可知：
(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，此时函数f(x)没有零点．
(2)当a＝0，或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有两个交点，即f(x)有两个零点．
(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有三个交点，即函数f(x)有三个零点．
(4)当0