第3章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年湘教版九年级数学上册 （含解析）

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第3章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年湘教版九年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，点是矩形边上的一点，将沿翻折，点正好落在边的点处，连接，与交于点，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是( )

A． B．1 C． D．
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．点是线段的黄金分割点，若，则 （精确到）．
8．如图，梯形中，，，，则 ．

9．如图，小聪和他的同学利用影长测量旗杆的高度.当长的直立竹竿的影长为时，测得旗杆落在地上的影长为，落在墙上的影长为，则旗杆的高度为 ．

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．

11．如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则 ．
12．如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为 ．

三、解答题
13．已知，求的值．
14．如图，在中，，求的长．

15．为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．

16．如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G，请解答下列问题．

(1) ；
(2)当四边形为正方形时，求点F的坐标；
(3)当时，若矩形矩形，求出相似比．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由，设，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．
【详解】解：∵，则设，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．
2．D
【分析】先求出的长，然后根据平行线分线段成比例定理，列比例式即可求出的值．
【详解】，
．
，
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握这个定理，正确的列出比例式是解题的关键．
3．C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据矩形的性质得出，，，进而得出，设，，
根据勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握这些知识点是解题的关键．
5．B
【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，可求得的长度．
【详解】根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．
如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．

又∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵，设，
∴，
∴
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等．
6．C
【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴
∴，
∴，故C正确
∵，
∴
∴，，，故A，B，D选项不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．
【分析】依据黄金分割点的定义列出比例式，然后变形成只含的方程式，解关于的二次方程即可．
【详解】黄金分割点P是指把一条线段分割为两部分，使其中较长一部分与全长之比等于另一部分与较长这部分之比．如下图，

点P是线段AB的黄金分割点，，
则：，即
∵，
∴
整理成关于的二次方程：，
利用求根公式解得：
因，故不合题意，舍去．
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的知识，解题的关键是理解黄金分割点的含义．
8．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
【详解】解：∵
∴
，，，
，
,
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质．
9．18
【分析】过点C作于点D，由题意可知，四边形是矩形，则，由长的直立竹竿的影长为得到，即，解得，即可得到旗杆的高度．
【详解】解：如图，过点C作于点D，

由题意可知，
∴四边形是矩形，
∴，
∵长的直立竹竿的影长为，
∴，即，
解得，
∴．
则旗杆的高度为．
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的应用、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相似的性质是解题的关键．
10．或/或
【分析】根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，
∴矩形矩形，
∵矩形的面积等于矩形面积的，
∴矩形与矩形的相似比为，
∵，
∴点的坐标为或，即或，
故答案为：或．

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．相似图形面积比等于相似比的平方．
11．
【分析】设，，求出小正方形的边长，可得结论．
【详解】解：如图，
设，，
则，
，，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．
【分析】过M点作，根据等腰直角三角形的性质求出长，再根据角平分线性质可得长，由此得到正方形的边长，求出和长，根据得到，得出，从而可求长．
【详解】解：过M点作，

∵四边形是正方形，是对角线,
∴，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
∴正方形边长，
∴正方形对角线， ．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度．
13．8或
【分析】观察 与 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 的值解出，因此设 通过变换化为 那么可能是 或 对这两种情况分别讨论；
【详解】设
则
即
所以或
当时，则
同理
所以
当时，
所以
故答案为 8 或 -1
【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系
14．10
【分析】利用得到，结合已知即可得解
【详解】解：
∴，
∴．
∴．
∴，
即．
∴
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，结合图形，熟练掌握并应用平行线分线段成比例是解答本题的关键．
15．10米
【分析】可证，从而可得，设米，可求，再证，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
，，
，
，
，
设米，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
答：建筑物的高度为10米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，理解题意，掌握判定方法及性质是解题的关键．
16．(1)8
(2)点F的坐标为
(3)
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出；
（2）由（1），知反比例函数的解析式为，设点F的坐标为，则，，可得，求得，即可；
（3）设点F的坐标为，则，，若矩形与矩形相似，根据相似的性质得，即，整理得，可得，求得，可得，进而可得相似比为．
【详解】（1）∵四边形为矩形，轴，，且．
∴，
∴，
故答案为：8；
（2）由（1），知反比例函数的解析式为．
设点F的坐标为，则，，
因为点F在反比例函数的图象上，且四边形是正方形，
所以，解得或，
所以点F的坐标为；
（3）因为矩形矩形，设点F的坐标为，则，，
所以，即，整理，得，
因为点F在反比例函数的图象上，所以，
联立解得或（舍去）
所以
所以相似比为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和正方形的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．
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