第4章 锐角三角函数 单元练习 2023-2024学年湘教版九年级数学上册 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 锐角三角函数 单元练习 2023-2024学年湘教版九年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ）

A．1 B． C． D．
2．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ）

A．1 B． C． D．
3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么（ ）

A． B． C． D．
4．如图，正六边形螺帽的边长为，那么这个正六边形扳手的开口a的值是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，小诚在距离旗杆底部B点的A处测得旗杆顶部C的仰角为，则旗杆BC的高为（ ）
A． B． C． D．
6．为完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末一起去郊外放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据，如图，当小明把风筝放飞到空中到点P处时，小华分别在地面测得，，米，则风筝的高度的长为（ ）米（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（结果保留根号）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．

8．如图，矩形中，，，点是中点，连接．将沿折叠，点落在点处，则的值为 ．

9．已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．

10．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为 km．（结果保留根号）

三、解答题
11．先化简，再求代数式的值，其中．
12．如图，，点、分别在、上，．

(1)求证：
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，，，求的长．
13．数学探究合作小组为了测量一条两岸平行的南水北调水渠的宽度，成员们独立设计了三个不同的方案，他们在水渠东岸的点处测得水渠西岸的大树T恰好在点的正西方向．测量方案与数据如表：
课题 测量水渠宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 卓越小组 复兴小组 格物小组
测量方案 示意图
说明 点，在点的正北方向 点，在点的正北方向 点在点的正北方向，点在点的正南方向
测量数据 ， ， ． ， ， ． ， ， ．
(1)________小组的数据无法计算出水渠宽度；
(2)请选择其中一个方案及其数据求出水渠宽度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，，，，，．
14．如图1，四边形中，，，，于点H．，，将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在上，其中，，

(1)求证：；
(2)若从图1的位置出发，沿着方向向右平移，当点P到达点D后停止平移．在平移过程中，当边恰好经过点B时（如图2），求此时平移的距离．
(3)若在（2）中的平移结束后开始绕点D逆时针旋转，如图3，与交与点E，与交与点F，当时，请直接写出旋转的度数．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．B
【分析】利用勾股定理可求出的长，利用余弦的定义即可得答案．
【详解】由图可知，∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比，正切是角的对边与邻边的比；余切是角的邻边与对边的比，熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】在直角中利用正切函数的定义即可求解．
【详解】解：过A作于D，

在直角中，，，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．
3．B
【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形的面积是100，
∴．
∵小正方形的面积是4，
∴小正方形的边长为2，
∴，
设，
则，
由勾股定理得，，
解得或（负值舍去），
∴，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键．
4．D
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出a的值，此题得解．
【详解】解：如图

∵正六边形的任一内角为，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
5．B
【分析】利用的正切求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
6．D
【分析】设的长为x米，根据，，，得出，，最后根据米，列出 求解即可．
【详解】解：设的长为x米，
∵，，，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握特殊角度的三角函数值，以及解直角三角形的方法和步骤．
7．
【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，

，
，
又点是的中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．
8．
【分析】先过作的垂线，交于，交于，则，设，则，根据，即可得到，在中，，列方程即可得到，进而得到的值．
【详解】解：如图所示，过作的垂线，交于，交于，则，

由折叠可得，，
，
，
，
，
由折叠可得，
，点为的中点，
，
设，则，
，即，
中，由勾股定理得，
，
解得，（舍去），即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是：设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，

∵
∴
∴,
同理：
∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴的横坐标为2023，
∵，674为偶数，
∴点在第一象限，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．
10．
【分析】过点作交于点，过点作，根据题意，则，，，求出，，根据勾股定理求出，再根据，，即可．
【详解】过点作交于点，过点作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵（），
∴，
∴
∴（），
∵，
∴（），
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是掌握解直角三角形，勾股定理，锐角三角形三角函数的知识．
11．，
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，求出a的值后代入，即可求出答案．
【详解】解：，
∵，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简与求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
12．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出，进而可得出结论；
（2）根据三角形的外角的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）根据相似三角形的性质得出，进而得出，求出，再根据，得出，设，则，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，即，
解得：（负值舍去），即．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
13．(1)复兴
(2)水渠宽度约为84.2米，具体选择见解析
【分析】（1）由复兴小组给出的数据为的长，和无法建立联系可知复兴小组的数据无法计算出水渠宽度；
（2）卓越小组：求出，可得，然后根据列式计算即可；格物小组：解直角三角形求出，，然后根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：复兴小组的数据无法计算出水渠宽度；
复兴小组给出的数据为的长，和无法建立联系，无法得到的任何一边长度，
复兴小组的数据无法计算出水渠宽度，
故答案为：复兴；
（2）卓越小组：
∵是的外角，
∴．
∴，
∴，
∴，
故水渠宽度约为84.2米；
格物小组：
设，
∵，，
∴，，
，
，
解得，
故水渠宽度约为84.2米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）先说明，再根据即可证明结论；
（2）先说明是直角三角形，再设，则，然后运用勾股定理即可解答；
（3）先算出，进而说明，然后作辅助图说明，最后结合图形即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵,,
∴．
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
设，则，
∴，解得：，
答：此时平移的距离为2．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴；
如图：在中，，，
延长至D，使,则，
设，则，，
∴，
∴锐角,
∴,
∴旋转的度数为．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)