【金版学案】2014-2015高中数学必修2苏教版分层演练：2.1.4 两条直线的交点
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| 名称 | 【金版学案】2014-2015高中数学必修2苏教版分层演练：2.1.4 两条直线的交点 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 134.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-21 11:39:31 | ||
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数学·必修2(苏教版)
2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
知识点一 直线的交点
1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是__________．
解析：联立两直线方程解得交点坐标为(2，－1)．
答案：(2，－1)
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为__________．
解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－.
答案：－
3．已知直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l倾斜角的取值范围．
解析：由?
于是有
∴k>，
故直线l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．
知识点二 直线公共点的判定与求解
4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是__________．
解析：将直线方程化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，
当即时等式成立，即直线过定点(－2,3)．
答案：(－2,3)
5．若直线x＋my＋1＝0和直线(m－2)x＋3y＋m＝0相交，则m的取值范围是__________．
解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行，
∴m(m－2)－1×3≠0，∴m2－2m－3≠0，
∴m≠－1且m≠3.
答案：(－∞，－1)∪(－1,3)∪(3，＋∞)
6．已知直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，求a的值．
解析：由3a－a2(a－2)＝0得：a(a＋1)(a－3)＝0.∴a＝0或a＝－1或a＝3，其中当a＝3时，两直线重合，当a＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．
故a＝0或－1.
知识点三 利用交点求字母参数的范围
7．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________．
解析：两直线联立，求出交点坐标为，，又交点在第一象限，得＞0且＞0，解得－＜k＜.
答案：
8．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．
解析：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．
由解得将x＝1，y＝－1代入l1的方程中，得m＝2.
即m＝2时，三条直线共点；
由－6－3m＝0，即m＝－2时，l1∥l2；
由3－6m＝0，即m＝时，l1∥l3.
∴当m＝±2或m＝时，l1、l2、l3不能围成三角形．
综合点一 求过直线交点的直线方程
9．求过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且过点(4,0)的直线方程为__________．
解析：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0(λ∈R)，则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－.
∴所求直线方程为2x－y＋4－(x－y＋5)＝0，
即2x＋y－8＝0.
答案：2x＋y－8＝0
10．求经过两直线7x＋7y－24＝0和x－y＝0的交点，并且与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程．
解析：方法一 由方程组解得两直线的交点为A.
设与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程为7x－14y＋C＝0，
将点A的坐标代入，求得C＝12，故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.
方法二 设过已知两直线交点的直线系方程为
7x＋7y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(7－λ)y－24＝0.
又所求直线与直线7x－14y－3＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝－21.
故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.
综合点二 对称的应用
11．直线x－2y＋1＝0关于直线y＝x对称的直线方程是__________．
解析：设M(x，y)为所求直线上的任意一点，则M(x，y)关于直线y＝x的对称点M′(y，x)在已知直线x－2y＋1＝0上，故y－2x＋1＝0.即：2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
12．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
解析：(1)如右下图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，即3·＝－1，
∴a＋3b－12＝0.①
又由于BB′的中点坐标为，且在直线l上，
∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0. ②
解①②得a＝3，b＝3.
∴B′(3,3)．
于是直线AB′的方程为：＝，
即2x＋y－9＝0.
∵|PA－PB|＝|PA－PB′|≤AB′，
∴当且仅当A，B′，P三点共线时|PA－PB|最大．
由l与AB′的方程组解得x＝2，y＝5，即l与AB′的交点坐标为(2,5)，所以P点坐标为(2,5)．
(2)如右图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为
.
∴AC′所在直线的方程为：
19x＋17y－93＝0，
∵PA＋PC＝PA＋PC′≥AC′，
∴当且仅当P，A，C′三点共线时，PA＋PC最小．
∵AC′和l交点坐标为，
故P点坐标为.
2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
知识点一 直线的交点
1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是__________．
解析：联立两直线方程解得交点坐标为(2，－1)．
答案：(2，－1)
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为__________．
解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－.
答案：－
3．已知直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l倾斜角的取值范围．
解析：由?
于是有
∴k>，
故直线l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．
知识点二 直线公共点的判定与求解
4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是__________．
解析：将直线方程化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，
当即时等式成立，即直线过定点(－2,3)．
答案：(－2,3)
5．若直线x＋my＋1＝0和直线(m－2)x＋3y＋m＝0相交，则m的取值范围是__________．
解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行，
∴m(m－2)－1×3≠0，∴m2－2m－3≠0，
∴m≠－1且m≠3.
答案：(－∞，－1)∪(－1,3)∪(3，＋∞)
6．已知直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，求a的值．
解析：由3a－a2(a－2)＝0得：a(a＋1)(a－3)＝0.∴a＝0或a＝－1或a＝3，其中当a＝3时，两直线重合，当a＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．
故a＝0或－1.
知识点三 利用交点求字母参数的范围
7．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________．
解析：两直线联立，求出交点坐标为，，又交点在第一象限，得＞0且＞0，解得－＜k＜.
答案：
8．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．
解析：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．
由解得将x＝1，y＝－1代入l1的方程中，得m＝2.
即m＝2时，三条直线共点；
由－6－3m＝0，即m＝－2时，l1∥l2；
由3－6m＝0，即m＝时，l1∥l3.
∴当m＝±2或m＝时，l1、l2、l3不能围成三角形．
综合点一 求过直线交点的直线方程
9．求过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且过点(4,0)的直线方程为__________．
解析：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0(λ∈R)，则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－.
∴所求直线方程为2x－y＋4－(x－y＋5)＝0，
即2x＋y－8＝0.
答案：2x＋y－8＝0
10．求经过两直线7x＋7y－24＝0和x－y＝0的交点，并且与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程．
解析：方法一 由方程组解得两直线的交点为A.
设与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程为7x－14y＋C＝0，
将点A的坐标代入，求得C＝12，故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.
方法二 设过已知两直线交点的直线系方程为
7x＋7y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(7－λ)y－24＝0.
又所求直线与直线7x－14y－3＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝－21.
故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.
综合点二 对称的应用
11．直线x－2y＋1＝0关于直线y＝x对称的直线方程是__________．
解析：设M(x，y)为所求直线上的任意一点，则M(x，y)关于直线y＝x的对称点M′(y，x)在已知直线x－2y＋1＝0上，故y－2x＋1＝0.即：2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
12．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
解析：(1)如右下图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，即3·＝－1，
∴a＋3b－12＝0.①
又由于BB′的中点坐标为，且在直线l上，
∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0. ②
解①②得a＝3，b＝3.
∴B′(3,3)．
于是直线AB′的方程为：＝，
即2x＋y－9＝0.
∵|PA－PB|＝|PA－PB′|≤AB′，
∴当且仅当A，B′，P三点共线时|PA－PB|最大．
由l与AB′的方程组解得x＝2，y＝5，即l与AB′的交点坐标为(2,5)，所以P点坐标为(2,5)．
(2)如右图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为
.
∴AC′所在直线的方程为：
19x＋17y－93＝0，
∵PA＋PC＝PA＋PC′≥AC′，
∴当且仅当P，A，C′三点共线时，PA＋PC最小．
∵AC′和l交点坐标为，
故P点坐标为.