【质量检测卷】人教版数学九年级上册 第二十一章质量评价（教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上册第二十一章质量评价(RJ)
(时间：120分钟　　满分：120分)
姓名：________　　　班级：________　　　分数：________
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．方程2x2－5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （D）
A．2，5，4 B．2，－5，4
C．－2，－5，4 D．2，－5，－4
2．已知一元二次方程x2＋kx－4＝0有一个根为1，则k的值为 （D）
A．2 B．－2 C．－3 D．3
3．方程x2－3x＋1＝0的根的情况是 （C）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
4．用配方法解一元二次方程y2＋4y＝1的过程中，配方正确的是 （C）
A．(y－1)2＝4 B．(y＋1)2＝4
C．(y＋2)2＝5 D．(y－2)2＝5
5．某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程得 （D）
A．150(1－2x)＝216 B．150(1－x)2＝216
C．150(1＋2x)＝216 D．150(1＋x)2＝216
6．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何．”意思是：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？设芦苇长x尺，则可列方程为(1丈＝10尺) （B）
A．x2＋102＝(x＋1)2 B．(x－1)2＋52＝x2
C．x2＋52＝(x－1)2 D．x2＋12＝(x－1)2
7．若一元二次方程ax2－x＋2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 （B）
A．a< B．a<且a≠0
C．a≥且a≠0 D．a>
8．不论x，y取何有理数，x2＋y2－10x＋8y＋41的值均为 （D）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分)
9．方程x(x－3)＝5(x－3)的解是x1＝3，x2＝5.
10．若(m－1)xm(m＋2)－1＋2mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是－3.
11．已知方程x2－4x＋1＝0的两根为x1，x2，则(2＋x1)(2＋x2)＝13.
12．(南沙区期末)要为一幅长29 cm，宽为22 cm的照片配一个相框(相框不遮挡照片)，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米？设相框边的宽度是x cm，则列出的方程应为(29＋2x)(22＋2x)－29×22＝×29×22.
13．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数为73，则每个分支长出小分支的数目为8.
14．三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的面积是6.
15．如图，每个大正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝12时，P2＝5P1.
16．当关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x－2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为－4或－1.
三、解答题(本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)解下列方程：
(1)3x2＋x＝0; (2)x2－1＝2(x＋1)．
解：x(3x＋1)＝0, 解：x2－1－2(x＋1)＝0，
x＝0或3x＋1＝0, (x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0，
(x＋1)(x－1－2)＝0，
(x＋1)(x－3)＝0，
x＋1＝0或x－3＝0，
x1＝－1，x2＝3.
18．(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
(1)解：将x＝1代入原方程，得1＋m＋m－2＝0，解得m＝.
(2)证明：Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋4＞0，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．(8分)如图，某小区规划在一个长16 m，宽9 m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112 m2，求小路的宽．
解：设小路的宽度为x m，那么草坪的总长度和总宽度应该为(16－2x)m，(9－x)m.
根据题意即可得出方程为
(16－2x)(9－x)＝112，
解得x1＝1，x2＝16.
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1.
答：小路的宽为1 m.
20．(9分)已知购买3个甲产品和2个乙产品需要560元；购买1个甲产品和3个乙产品需要420元．
(1)请问甲产品和乙产品每个的售价分别是多少元？
(2)某网店发现甲产品的销售非常火爆．据统计，该店五月份的销量为1万件，七月份的销量为1.21万件．若该店甲产品销量的月平均增长率保持不变，求八月份销售甲产品的收入．
解：(1)设每个甲产品的售价是x元，每个乙产品的售价是y元，
依题意得解得
答：每个甲产品的售价是120元，每个乙产品的售价是100元．
(2)设该店甲产品销量的月平均增长率为m，依题意得
(1＋m)2＝1.21，解得m1＝0.1＝10%，m2＝－2.1(不符合题意，舍去)，
∴120×1.21×(1＋10%)＝159.72(万元)．
答：八月份销售甲产品的收入为159.72万元．
21．(9分)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x＋x＝16＋x1x2，求实数k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得k≤，
∴实数k的取值范围为k≤.
(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1.
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，
解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k的值为－2.
22．(10分)某商场购进了一批凉鞋，每双凉鞋的进货价为18元，市场调研表明：当每双凉鞋销售价格为30元时，平均每天可以卖出30双；而当销售价格每双每降低1元时，平均每天可以多卖10双．商场要想使这种凉鞋的销售利润平均每天达到540元且尽量减少库存，则每双凉鞋的定价应为多少元？
解：设每双凉鞋的定价为x元，由题意，得
(x－18)[30＋10(30－x)]＝540，
解得x1＝27，x2＝24，
∵商场要想使这种凉鞋的销售利润平均每天达到540元且尽量减少库存，
∴x＝27舍去．
答：每双凉鞋的定价应为24元．
23．(10分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，点Q，P同时停止移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4 cm2
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5 cm
解：(1)当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝(5－t) cm，BQ＝2t cm.
依题意得(5－t)×2t＝4，
解得t1＝1，t2＝4，
当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．
答：1 s后，△PBQ的面积为4 cm2.
(2)依题意得(5－t)2＋(2t)2＝25，
解得t1＝0，t2＝2.
答：0 s或2 s后，PQ的长度为5 cm.
24．(12分)如果方程x2＋px＋q＝0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：G＝.例如x2－7x＋12＝0有正整数解3和4，所以x2－7x＋12＝0属于同族方程，所以G＝＝.
(1)如果同族方程x2＋px＋q＝0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；
(2)如果同族方程x2＋px＋q＝0中的实数q满足如下条件：
①q为一个两位正整数，q＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)；
②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样的方程为同族方程中的和谐方程．求所有和谐方程中的G的最小值．
(1)证明：∵同族方程x2＋px＋q＝0中有两个相同的解，
∴Δ＝p2－4q＝0，∴p2＝4q，∵G＝，∴G＝＝4，
即对任意一个完美方程，总有G＝4.
(2)解：根据题意得10y＋x－(10x＋y)＝54，
∴9y－9x＝54，∴y－x＝6，
∵1≤x≤y≤9，∴或
∴q＝39，28或17，
∴可得三个和谐方程x2＋px＋39＝0，x2＋px＋28＝0或x2＋px＋17＝0，
由同族方程定义可得方程x2＋px＋39＝0的解为
x＝1或x＝39；x＝3或x＝13，
此时p＝－40或－16，G 的最小值为＝；
方程x2＋px＋28＝0的解为x＝1或x＝28；x＝2或x＝14；x＝4或x＝7，
此时p＝－29或－16或－11，G的最小值为＝；
方程x2＋px＋17＝0的解为x＝1或17，
此时p＝－18，G的值为＝，
∵>>，∴G的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)