【质量检测卷】人教版数学九年级上册 第二十二章质量评价（教师版）

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九年级数学上册第二十二章质量评价(RJ)
(时间：120分钟　　满分：120分)
姓名：________　　　班级：________　　　分数：________
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，y是x的二次函数的是 （C）
A．y＝ B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2 D．y2＝x2＋3x
2．抛物线y＝3x2－2的顶点坐标是 （D）
A．(3，－2) B．(3，2) C．(0，2) D．(0，－2)
3．把抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线是 （B）
A．y＝2(x＋2)2＋3 B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x＋2)2－3
4．小颖在抛物线y＝2x2＋4x＋5上找到三点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为 （A）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
5．二次函数y＝－x2＋bx＋c的最大值为3，则一元二次方程－x2＋bx＋c－4＝0的根的情况是 （C）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2，飞机着陆至停下来共滑行 （D）
A．25 m B．50 m C．625 m D．750 m
7．如图，函数y＝ax＋1和y＝ax2＋ax－1在同一直角坐标系内的图象大致是 （C）
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象经过点A(－3，0)，其对称轴为直线x＝－1，有下列结论：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③5a＋4c＜0；④4ac－b2＞0；⑤若P(－5，y1)，Q(m，y2)是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是－5＜m＜3.其中正确结论的个数是 （C）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分)
9．已知二次函数y＝3(x－3)(x＋2)，则该函数的对称轴为x＝.
10．二次函数y＝－x2－2x的最大值是1.
11．若二次函数y＝kx2－4x＋1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＜4且k≠0.
12．已知某抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 5 0 －3 －4 －3 …
那么该抛物线与y轴的交点关于对称轴的对称点的坐标是(2，－3)．
13．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；
乙：对称轴是直线x＝3；
丙：与y轴的交点到原点的距离为3.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝(x－3)2(答案不唯一)．(写出一个即可)
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始向B点以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)；动点Q从点B开始向点C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过3s四边形APQC的面积最小．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－4x＋6上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为1.
16．如图①，点P为Rt△ABC中直角边上一个动点，点P从点A出发，沿折线AC→CB匀速运动，到达点B时停止运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，设AQ为x，△APQ的面积为y.y关于x的函数图象如图②所示，则当点P为BC的中点时，AP的长为2.
三、解答题(本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.
(1)求它的对称轴和顶点坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中画出这条抛物线的图象草图．
解：(1)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)．
(2)如图．
18．(8分)已知一个二次函数的图象经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－8)三点．
(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－8；
(2)求抛物线的对称轴和顶点P的坐标；
(3)直接写出△ABP的面积．
解：(2)∵y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，顶点P的坐标为(1，－9)．
(3)S△ABP＝×6×9＝27.
19．(8分)已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的x和y满足下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 3 0 －1 0 m …
(1)观察表，可求得m的值为3；
(2)请求出这个二次函数的解析式．
解：(2)函数的顶点坐标为(1，－1)，设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－1，将(2，0)代入上式并解得a＝1，
故二次函数的解析式为y＝(x－1)2－1.
20．(9分)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)．
(1)求水流喷出的最大高度是多少米？此时的水平距离是多少米？
(2)若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米，才能使喷出的水流不落在池外？
解：(1)∵y＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋.
答：水流喷出的最大高度是m，此时的水平距离为1 m.
(2)令y＝0，则－(x－1)2＋＝0，解得x＝2.5或x＝－0.5(舍去)．
答：水池的半径至少为2.5 m，才能使喷出的水流不落在池外．
21．(9分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(1，0)，(3，0)，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根：x1＝3，x2＝1；
(2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
解：(2)当10；
当x＞3或x＜1时，y＜0.
(3)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于(3，0)，(1，0)，
∴该图象的对称轴为直线x＝2，
∵图象开口向下，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
22．(10分)李大伯要建一个长方形菜园，菜园的一面利用房子边墙(墙长4.5 m)，其它三面用渔网围上，与墙垂直的一边还要开一扇1 m宽的进出口(不需材料)，共用渔网8 m.
(1)若面积为10 m2，菜园的长和宽分别是多少米？
(2)菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
解：(1)设这个菜园一边AB长为x m，则另一边BC长为(8－x＋1)m.依题意，得
x·(8－x＋1)＝10，
解得x1＝5(舍去)，x2＝4.
当x＝4时，(8－x＋1)＝2.5.
答：若面积为10 m2，菜园的长为4 m，宽为2.5 m.
(2)菜园的面积为x·(8－x＋1)＝－＋，
∵－＜0，∴当x＝时，菜园有最大面积，最大面积为 m2.
23．(10分)某公司以30元/kg的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(kg)与销售价格x(元/kg)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x(元/kg) 30 35 40 45 50
日销售量p(kg) 600 450 300 150 0
(1)p与x之间的函数解析式为p＝－30x＋1 500；
(2)该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若该公司的日销售利润不低于2 250元，应该如何确定销售价格？
解：(2)设日销售利润w＝p(x－30)，整理得w＝－30x2＋2 400x－45 000，
∴当x＝－＝40时，w有最大值3 000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大．
(3)当w＝2 250时，－30x2＋2 400x－45 000＝2 250，
解得x1＝35，x2＝45，∴35≤x≤45，又∵30≤x≤50，
∴销售价格应在30～45元之间(包含35元与45元)．
24．(12分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E.
(1)二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3；
(2)如图①，连接AC，AD，CD，试判断△ADC的形状，并说明理由；
(3)如图②，点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
(4)在线段AC上，是否存在点F，使△AEF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
　　　
解：(2)△ACD为直角三角形，理由：由(1)可知D(－1，－4)，
过点D作DF⊥y轴于点F，如图①，
在Rt△AOC中，AO＝3，CO＝3，∴∠ACO＝45°，AC2＝AO2＋CO2＝18，
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝1，∴∠DCF＝45°，CD2＝DF2＋CF2＝2，
∴∠ACD＝180°－45°－45°＝90°，且AC≠CD，
∴△ACD为直角三角形．
(3)直线AC的解析式为y＝－x－3.
如图②，过点P作x轴的垂线交AC于点G，设P(x，x2＋2x－3)，则G(x，－x－3)．
∵点P在第三象限，
∴PG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，
∴S△APC＝PG·OA＝－x2－x＝－(x＋)2＋.
∴当x＝－时，Smax＝，此时P.
(4)F1(－1，－2)，F2(－3，－)，F3(－2，－1)．
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