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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册、第二章
课标要求 了解平方根的含义，会用根号表示算术平方根，并了解算术平方根的双重非负性。会用“夹逼法”求一个算术平方根的近似数。正确理解平方根的性质。了解立方根的含义，会用根号表示一个数的立方根。明确平方根和立方根之间的区别和联系。渗透特殊---一般--特殊的数学思想。理解有理数和实数的概念，并能够对实数进行分类。能够进行实数范围内简单的混合运算。通过解决生活中的实际问题体会数学与现实生活的紧密联系，在学习过程中体验学习的乐趣。8培养学生的探究能力和归纳问题的能力，发展学生素养。
内容分析 1.教材整体编排思路：无理数的引入---无理数的表示--实数及相关概念，实数运用贯穿整章始终。2.本章学习内容：认识无理数、平方根、立方根、估算、用计算器计算、实数、二次根式。3.学习方法--通过拼图引入无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数的概念和实数的简单混合运算。
学情分析 八年级学生已经积累了一定的数学活动经验，也经历一些数的扩展。但无理数不像有理数直观易懂，总有一种虚幻的感觉。学起来比较困难。所以，在教学中尽量利用具体情境，通过操作、猜想、抽象、验证、类比、推理等学习方法促进学生对本章知识的理解和掌握。
单元目标 教学目标1.认识无理数、平方根、立方根、估算、用计算器计算、实数、二次根式概念。会求一个数的算术平方根、平方根、立方根。2.掌握实数的简单混合运算，让学生体会类比的思想。3.通过本章学习提高学生归纳推理能力，教学重点、难点1.无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式概念。2..算术平方根的双重非负性。3.实数的混合运算。4.数型结合解决与勾股定理综合运用的能力培养
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识无理数22平方根23立方根14估算15用计算器开方16实数17二次根式38回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识无理数1.探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力1.小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。2.学生总结、相互补充，学会进行概括总结。一、新课引入。二、探索无理数。三、数的分类、四、课堂练方根1.掌握平方根的概念，2能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。3.了解平方根和算术平方根的区别和联系。1.学生自己独立完成求平方根。2.观察、思考、概括、总结、练习巩固.3.通过感受平方与开平方的互逆过程，自己得出平方根的概念一、预习二、初步探究算术平方根。三、继续探究平方根四、探究平方与开方的互逆关系。五、课堂练习立方根1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根．2.学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．1.学生练习；思考怎样求立方体的棱长。2.自主学习和小组讨论得出立方根的性质。3.利用类比的方法小组讨论得出平方根和立方根的相同点和不同点一、知识回顾。情境导入。三、探究立方根的意义四、探究立方根的性质五、讨论立方根与平方根的相同点与不同点。六、巩固练习。估算1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题。2、经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感。3、体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情。1.给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少。2.思考；半径怎样表示？3.同学交流完成例题1。4.学习“夹逼法”估算一个无理数的大致范围。5.学生总结夹逼法的方法。6.完成例题1及问题导学的正确估算。7.思考例题2的解题思路。8.学生独立思考、小组合作完成例题情境引入。二、活动探究三、深入探究比较无理数的大小。四、巩固练习。用计算器开方1、会用计算器求平方根和立方根。2、鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力。3、在用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和趣味性，激发学习兴趣。1.学生回答（1、（2）问题，有问题（3）导入新课。2、利用计算器开方环节，学生在小组内自我纠错,自我更正,教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况,提供相应的帮助。3、利用计算器比较数的大小环节，学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流。新课导入。二、利用计算器开方三、利用计算器比较数的大小四、课堂练习。实数1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2. 了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。1.学生分组合作，并引导学生如何分类；2.学生小组合作交流，并分小组回答问题，最后总结。3.教师先引导学生复习以前所学有理数相关知识点,后引出有关实数的相关问题。4.教师提出问题并引导学生如何解决本题的思路.学生小组合作交流，并回答问题，老师适当的引导并最后总结.5.学生在数轴上画-所表示的点。6.学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律。有理数分类。二、实数的倒数、相反数、绝对值三、实数运算。二次根式1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．1.理解二次根式的意义；判断那些是二次根式；理解二次根式的被开方数为非负数及分数中分母不能为零。2、学生根据二次根式的性质进行化简，然后得出什么是二次根式。3、根据二次根式具备的三个条件作出判断那些是二次根式。（重点指导分母有理化的方法）一、导入新课二、二次根式的概念三、二次根式的性质四、最简二次根式五、课堂练习回顾与反思1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念。2.熟练掌握无理数的概念，会对一个无理数进行估算。3.掌握实数的定义，能熟练地进行实数的化简和计算。1.通过学生畅所欲言，对本章知识进行归纳，从而体会类比思想，和学会互相交流。2、进一步理解平方根、算术平方根、立方根的概念和性质。为后续练习做好铺垫。3、进一步理解有理数、无理数的概念，并正确作出判断。4、进一步理解和掌握无理数的估算和有理数的大小比较。5、进一步理解二次根式、二次最简根式及根式的性质。6、掌握二次根式的运算，特别是分母有理化。 7、理解和掌握无理数在数轴上怎样表示。知识再现。知识点1： 算术平方根、平方根和立方根。知识点2 实数的概念、分类及性质。知识点3 无理数的估算及实数的大小比较。知识点4 二次根式的相关概念及性质。知识点5 二次根式的运算。知识点6 用数轴上的点表示无理数。二、随堂练习。
《实数》单元教学设计
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八年级数学·上 北师大版
第二章 实数
2 平方根 （1）
教材分析
算术平方根和平方根是初中重要的概念，但由于实际问题中所求出的答案往往是正数的情况，所以算术平方根尤为重要。教材先设计了一个典型的求算术平方根的情景问题，把情景问题抽象成数学问题就是利用勾股定理求直角三角形斜边边长。在理解、掌握算术平方根的概念后讲平方根就水到渠成。
教学目标
1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。
新知导入
一预习
( )2=9 ( )2=25 ( )2=16 ( )2=81
( )2=0 ( )2=121
2、做一做
①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求它的斜边长。
②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，求它的斜边长。
3
5
4
9
0
11
13
25
新知导入
前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，
y2= ，
z2= ，
w2= ．
那么X、y、z、w
分别等于多少？
2
3
4
5
问题导入
新知讲解
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，
即 =0 。
一、初步探究算术平方根。
（1）情境引出算术平方根。
新知讲解
下列各数的算术平方根（课本例题1）：
（1）900； （2）1； （3） ； （4）14．
（2）简单运用。
解：（1）、因为30 =900，所以900的算术平方根是30，即 。
2
解：（2）、因为1 2=1，所以1的算术平方根是1，即
。
解：（3）因为 ，所以 的算术平方根
是 ， 即 ；
解：（4） 14的算术平方根是 ．
（3）回答引入新课的问题
x2= 2 y2= 3 z2= 4 w2= 5
x= y= z= =2 w=
新知讲解
二、继续探究平方根
新知讲解
小结：一个正数的平方根有___个，它们互为______.
新知讲解
一个正数的正的平方根，记作“ ”，正数的负的平方根记作“- ”，这两个平方根合起来记作“ ± ”，读作“正、负根号”。
例如：2的平方根记作±
新知讲解
2、问题二：
（1）9的平方根是什么？5的平方根是什么？
（2）0的平方根是什么？0的平方根有几个？
（3）－4，－8，－36有平方根吗？为什么？
（4）由此，你得到了什么结论
平方根的性质：
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
新知讲解
三、探究平方与开方的互逆关系
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。求一个a的平方根的运算叫开平方，a叫被开方数。开方和平方是互逆运算。
新知讲解
课堂练习
1. 下列说法正确的是（ ）
A.49的平方根是7 B.-5是25的平方根
C.如果x有算术平方根，则 x >0 D.
2.下列说法正确的是（ ）
A.平方根等于它本身的数是0和1 B.平方根等于本身的数是0
C.算术平方根等于它本身的数只有1 D.一个数一定大于它的算术平方根
3. 9的平方根是( ). ( )的平方根是( ). 的平方根是
4.当 a= 27 时，( )的平方根是
B
B
±3
±2
±5
【知识技能类作业】必做题
课堂练习
1.正数的两个平方根分别是2a+1和a-4，求这个数.
解：2a+1+a-4=0 a=1,
这个数是(2a+1)=9
【知识技能类作业】选做题
课堂练习
【综合实践类作业】
7.课本第27页联系拓广
正方形的面积是原来的4倍，边长是原来的2倍。
正方形的面积是原来的9倍，边长是原来的3倍。
正方形的面积是原来的100倍，边长是原来的10倍。
课堂总结
1、算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0．
2、算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
3、正数a有两个平方根，记着±
课外作业
【知识技能类作业】必做题
1.看书，课本第26页例题2、27页例题3
2.121的算术平方根是 11 。1.21的算术平方根是 1.1 。
1.96的算术平方根是 1.4 。361的算术平方根是 19 。
3.课本29页随堂练习.
答案：(1) ±1.2；0；±2 ；± ；±21;±16;±10
（2）.25的平方根是±5； ；
（3）当a=5 ,b=12,
课外作业
【知识技能类作业】选做题
3.填空；一个正数的平方等于361，这个数是 ±19 。
一个正数的平方等于121，这个数是 ± 11 。
一个正数的平方等于196，这个数是 ±14 。
4.求下列各式中的未知数x(课本第29页第3题
答案：x=± ; x=±
5.当a=25,b=24 。求
解： = = =7
【综合实践类作业】
1、课本第27页第3题
解：瓷砖的面积=10.8÷120=0.09，瓷砖的边长 =0.3
对于任意数a， 一定等于a吗？
答：当a≥0是 =a; 当a<0是 =-a,
板书设计
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 算术平方根和平方根是初中重要的概念，但由于实际问题中所求出的答案往往是正数的情况，所以算术平方根尤为重要。教材先设计了一个典型的求算术平方根的情景问题，把情景问题抽象成数学问题就是利用勾股定理求直角三角形斜边边长。在理解、掌握算术平方根的概念后讲平方根就水到渠成。
学习者分析 对于初中的学生来说，已经有了一定是我知识储备，能否在教师的指导下建立新旧真是的联系。此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法。所以本节课的教学方法采用讲授法、讨论法、启发引导法。
教学目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。
教学重点 平方根的概念；会求一个非负数的平方根。
教学难点 平方根和算术平方根之间的联系和区别；
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入新课教师活动1： 一预习 ( 3 )2=9 ( 5 )2=25 ( 4 )2=16 ( 9 )2=81 ( 0 )2=0 ( 11 )2=121 2、做一做 ①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求它的斜边长。【13】 ②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，求它的斜边长。【25】 问题导入 前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x2= 2 ， y2= 3 ， z2= 4 ， w2= 5 ． 那么X、y、z、w分别等于多少？学生完成预习题活动意图说明： 通过完成预习题，设置悬念，激发学生兴趣。导入新课。环节二：初步探究算术平方根教师活动2： （1）情境引出算术平方根。 ，，，，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？ 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记为“”，读作“根号”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。 简单运用。 例题1 （1）900； （2）1； （3）； （4）14． 解：因为302=900，所以900的算术平方根是30，即； （2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即； （3）因为，所以 的算术平方根是， 即； （4）14的算术平方根是． 回答引入新课的问题 x2= 2 y2= 3 z2= 4 w2= 5 x= y= z==2 w=学生活动2： 学生自己独立完成求平方根。 活动意图说明： 让学生体验算术平方根形成过程，加深对算术平方根的理解和掌握，同时培养学生的说理能力，为后续学习打下基础。环节三：继续探究平方根教师活动3： 1、问题一:观察下面的式子: ① 12=1, (-1)2=1 ② 0.52=0.25, (-0.5)2=0.25 ③ ()2=, (-)2= 1)请你写出一个与上面式子类同的式子; (2)你发现了什么结论 2、小结：一个正数的平方根有___个，它们互为______. 一个正数的正的平方根，记作“”，正数的负的平方根记作“”，这两个平方根合起来记作“”，读作“正、负根号”。 例如：2的平方根记作 问题二： （1）9的平方根是什么？5的平方根是什么？ （2）0的平方根是什么？0的平方根有几个？ （3）－4，－8，－36有平方根吗？为什么？ （4）由此，你得到了什么结论 4、平方根的性质： 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 练习：一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是 7 ； 2．的算术平方根是 ； 3．的算术平方根是 ； 4．若，= 16 ． 二、求下列各数的算术平方根： 36，，15，0.64，，，． 答案：6；；；0.8；；；1；学生活动3： 观察、思考、概括、总结、练习巩固活动意图说明： 通过问题导入平方根的概念，使学生掌握平方根与算术平方根的练习与区别。环节四：探究平方与开方的互逆关系教师活动4： 填空：（±3）=（ ）；（±）=（ ） （ ）=9 （ ）=0.04 小结：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。求一个a的平方根的运算叫开平方，a叫被开方数。开方和平方是互逆运算。 练习 求下列各数的值； ；（2）-；（3）± 解：（1）因为6=36，所以的值是6； （2）因为0.9=0.81，所以-的值是-0.9； （3）因为=，所以±的值是学生活动4： 通过感受平方与开平方的互逆过程，自己得出平方根的概念活动意图说明： 通过感受平方与开平方的互逆过程，自己得出开平方运算以及平方根的概念，培养学生的分析能力以及概括能力.
板书设计 1、平方根和算术平方根 平方根 2、用根号表示一个数的算术平方根 3、求一个正数的平方根与平方是互逆的运算
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法正确的是（ B ） A.49的平方根是7 B.-5是25的平方根 C.如果 有算术平方根，则 >0 D. 2.下列说法正确的是（B ） A.平方根等于它本身的数是0和1 B.平方根等于本身的数是0 C.算术平方根等于它本身的数只有1 D.一个数一定大于它的算术平方根 3. 9的平方根是(±3). 2 的平方根是(±). 的平方根是(±2). 4.当 a= 27 时， 的平方根是±5 选做题： 5.正数的两个平方根分别是2a+1和a-4，求这个数. 解：2a+1+a-4=0 a=1,这个数的(2a+1)=9 6.求下列各式中x的值： （1）5； (2)49(x+1)=81 解：（1）5X=100 (2)(X+1)= x=20 x+1=± X=± x= x=- 【综合拓展类作业】 7.课本第27页联系拓广 正方形的面积是原来的4倍，边长是原来的2倍。 正方形的面积是原来的9倍，边长是原来的3倍。 正方形的面积是原来的100倍，边长是原来的10倍。
课堂小结 1、算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0． 2、算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 3、正数a有两个平方根，记着± 4、平方与开方的互逆关系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 看书，课本第26页例题2、27页例题3 121的算术平方根是 11 。1.21的算术平方根是 1.1 。 1.96的算术平方根是 1.4 。361的算术平方根是 19 。 3.课本29页随堂练习. 答案：(1) ±1.2；0；±2；±；±21;±16;±10 （2）.25的平方根是±5； ； （3）当a=5 ,b=12, 选做题： 填空；一个正数的平方等于361，这个数是 ±19 。 一个正数的平方等于121，这个数是 ± 11 。 一个正数的平方等于196，这个数是 ±14 。 求下列各式中的未知数x(课本第29页第3题 答案：x=±; x=± 5.当a=25,b=24 。求 解：===7 【综合拓展类作业】 课本第27页第3题 解：瓷砖的面积=10.8÷120=0.09，瓷砖的边长=0.3 对于任意数a，一定等于a吗？ 答：当a≥0是=a;当a<0是=-a,
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