4.1 无理数同步练习（含答案）
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第四章 实数
1 无理数
基础夯实
知识点一 客观世界中存在不是有理数的数
1.已知,下列说法正确的是 ( )
A. x可能是整数 B. x可能是分数 C. x是有理数 D. x不是有理数
2.长、宽分别是2，1的长方形，它的对角线长是( )
A.整数 B.分数 C.既不是分数也不是整数 D.有理数
3.体积为 100的正方体的棱长是 ( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.既不是分数也不是整数
4.如图,在△ABC中,AB=6,BD=5,CD=2,计算高 AD与边 AC 的平方分别是多少 AD，AC可能是整数吗 可能是分数吗 有可能是有理数吗
5.如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决下
面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少
(2)阴影正方形的边长是有理数吗
(3)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间
知识点二 非有理数的估算
6.已知正数 a 的平方为37，则 a的近似值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知x =88, 那么x的大小应在哪两个数之间 ( )
A.9.1～9.2之间 B.9.2～9.3之间 C.9.3～9.4之间 D.9.4～9.5之间
8.面积为 15π的圆的半径为x，请回答下列问题：
(1)x是有理数吗
(2)x的整数部分是多少
(3)把x的值精确到十分位时是多少 精确到百分位呢
知识点三 无理数
9.在数:3.141 59,1.010010001…(相邻两个1之间依次多1个0),7.56,π, 中，无理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.实数 中的无理数是 ________ .
11.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的正方形，其中边长是有理数的正方形有 个，边长是无理数的正方形有 个.
易错点 对有理数与无理数的定义理解不透，从而导致分类错误
12.把下列各数分别填在相应的大括号内：
……(相邻两个3之间1的个数逐次加1).
有理数：{ …};
无理数：{ …}.
能力提升
13.下列说法中：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数.正确的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
14.将下列这些数按要求填入相应的集合中：0.010010001…(相邻两个1之间依次多1个0),4,
负数集合：{ …};
非负整数集合：{ …};
分数集合：{ …};
无理数集合：{ …}.
15.如图，已知点C为正方形网格中的一个格点,请你按要求设计△ABC,使∠C=90°, AC=BC.
(1)AB的长为无理数,AC,BC 的长均为有理数；
(2)AB 的长为有理数,AC,BC 的长均为无理数；
(3)三边的长均为无理数.
16.七年级(2)班两名同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为 6 m 的树上.其中一名同学赶快搬来一架长为7 m 的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2m 远，另一名同学爬上梯子去拿羽毛球.
问：梯子顶端到地面的距离是有理数还是无理数 这名同学能拿到球吗
17.小明家新买了一张边长是 1.3m 的正方形桌子，原有的边长是 1m 的两块台布都不适用了，丢掉又太可惜了.小明的姥姥按下列方法(如图)，将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小明的姥姥算一算，这块大台布能盖住现在 的 新桌子吗 (不考虑损耗)
核心拓展
18.试验与探究：我们知道分数 写为小数即，反之，无限循环小数 写成分数即 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在以为例进行讨论：设=x,由0.7=0.7777…可知,1……,即,解方程得 于是得
请仿照上述例题完成下列各题：
(1)请你把无限循环小数写成分数，即
(2)你能化无限循环小数 为分数吗 请仿照上述例子求解.
参考答案
1. D 2. C 3. D
4.解:在 Rt△ABD中,由勾股定理,得AD =AB -BD =11,在 Rt△ADC中,由勾股定理,得 AC =AD +CD =15. AD，AC都不可能是整数，不可能是分数，不可能是有理数.
5.解：(1)设阴影正方形的边长为x，由勾股定理，得 x =1 +2 =5, 所以阴影正方形的面积是5.
(2)阴影正方形的边长不是有理数.因为一个整数或分数的平方不可能是5，所以阴影正方形的边长不是有理数.
(3)因为2 ＜5＜3 , 所以阴影正方形的边长介于2，3两个整数之间.
6. B
7. C 【解析】因为x =88,且9.3 =86.49＜88,9.4 =88.36＞88,所以x的大小应在9.3～9.4之间.
8.解:(1)因为 πx =15π,所以 x =15.所以x不是有理数.
(2)x的整数部分是3.
(3)3.9 3.87
9. B
10. 【解析】 是分数，它是有理数；-8是负整数，它是有理数；0.1010010001是有限小数,是有理数;0.23是无限循环小数，是有理数；π/3是圆周率的三分之一，仍然是无限不循环小数，它是无理数.注意这里π/3虽以“分数”的形式出现，但它不是整数之比，即不是分数，因而不是有理数.
11.3 6
12.，,0.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)
【解析】易将 作为有理数，有理数可化为分数形式，但分子或分母不是整数的分数形式的数不一定是有理数.
13. C
14.解:负数集合:
非负整数集合:{4,0,-(-5),…};
分数集合：
无理数集合：{0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多1个0),
解：答案不唯一，示例，
16.解：设梯子顶端到地面的距离为xm，由题意，得 x =7 -2 =45.
因为 45 既不是整数的平方，也不是分数的平方，所以x是无理数.所以梯子顶端到地面的距离是无理数.因为6 =36,45>6 , 所以这名同学能拿到球.
17.解：设新台布的边长为am，则 a =1 +1 =2,
因为1.3 =1.69＜2, 所以 a＞1.3.
所以这块大台布能盖住现在的新桌子.
【解析】设，由…可知,……
所以,解得 所以.
(2)解:设，由…可知，…….
所以 ,解得 所以
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第四章 实数
1 无理数
基础夯实
知识点一 客观世界中存在不是有理数的数
1.已知,下列说法正确的是 ( )
A. x可能是整数 B. x可能是分数 C. x是有理数 D. x不是有理数
2.长、宽分别是2，1的长方形，它的对角线长是( )
A.整数 B.分数 C.既不是分数也不是整数 D.有理数
3.体积为 100的正方体的棱长是 ( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.既不是分数也不是整数
4.如图,在△ABC中,AB=6,BD=5,CD=2,计算高 AD与边 AC 的平方分别是多少 AD，AC可能是整数吗 可能是分数吗 有可能是有理数吗
5.如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决下
面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少
(2)阴影正方形的边长是有理数吗
(3)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间
知识点二 非有理数的估算
6.已知正数 a 的平方为37，则 a的近似值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知x =88, 那么x的大小应在哪两个数之间 ( )
A.9.1～9.2之间 B.9.2～9.3之间 C.9.3～9.4之间 D.9.4～9.5之间
8.面积为 15π的圆的半径为x，请回答下列问题：
(1)x是有理数吗
(2)x的整数部分是多少
(3)把x的值精确到十分位时是多少 精确到百分位呢
知识点三 无理数
9.在数:3.141 59,1.010010001…(相邻两个1之间依次多1个0),7.56,π, 中，无理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.实数 中的无理数是 ________ .
11.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的正方形，其中边长是有理数的正方形有 个，边长是无理数的正方形有 个.
易错点 对有理数与无理数的定义理解不透，从而导致分类错误
12.把下列各数分别填在相应的大括号内：
……(相邻两个3之间1的个数逐次加1).
有理数：{ …};
无理数：{ …}.
能力提升
13.下列说法中：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数.正确的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
14.将下列这些数按要求填入相应的集合中：0.010010001…(相邻两个1之间依次多1个0),4,
负数集合：{ …};
非负整数集合：{ …};
分数集合：{ …};
无理数集合：{ …}.
15.如图，已知点C为正方形网格中的一个格点,请你按要求设计△ABC,使∠C=90°, AC=BC.
(1)AB的长为无理数,AC,BC 的长均为有理数；
(2)AB 的长为有理数,AC,BC 的长均为无理数；
(3)三边的长均为无理数.
16.七年级(2)班两名同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为 6 m 的树上.其中一名同学赶快搬来一架长为7 m 的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2m 远，另一名同学爬上梯子去拿羽毛球.
问：梯子顶端到地面的距离是有理数还是无理数 这名同学能拿到球吗
17.小明家新买了一张边长是 1.3m 的正方形桌子，原有的边长是 1m 的两块台布都不适用了，丢掉又太可惜了.小明的姥姥按下列方法(如图)，将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小明的姥姥算一算，这块大台布能盖住现在 的 新桌子吗 (不考虑损耗)
核心拓展
18.试验与探究：我们知道分数 写为小数即，反之，无限循环小数 写成分数即 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在以为例进行讨论：设=x,由0.7=0.7777…可知,1……,即,解方程得 于是得
请仿照上述例题完成下列各题：
(1)请你把无限循环小数写成分数，即
(2)你能化无限循环小数 为分数吗 请仿照上述例子求解.
参考答案
1. D 2. C 3. D
4.解:在 Rt△ABD中,由勾股定理,得AD =AB -BD =11,在 Rt△ADC中,由勾股定理,得 AC =AD +CD =15. AD，AC都不可能是整数，不可能是分数，不可能是有理数.
5.解：(1)设阴影正方形的边长为x，由勾股定理，得 x =1 +2 =5, 所以阴影正方形的面积是5.
(2)阴影正方形的边长不是有理数.因为一个整数或分数的平方不可能是5，所以阴影正方形的边长不是有理数.
(3)因为2 ＜5＜3 , 所以阴影正方形的边长介于2，3两个整数之间.
6. B
7. C 【解析】因为x =88,且9.3 =86.49＜88,9.4 =88.36＞88,所以x的大小应在9.3～9.4之间.
8.解:(1)因为 πx =15π,所以 x =15.所以x不是有理数.
(2)x的整数部分是3.
(3)3.9 3.87
9. B
10. 【解析】 是分数，它是有理数；-8是负整数，它是有理数；0.1010010001是有限小数,是有理数;0.23是无限循环小数，是有理数；π/3是圆周率的三分之一，仍然是无限不循环小数，它是无理数.注意这里π/3虽以“分数”的形式出现，但它不是整数之比，即不是分数，因而不是有理数.
11.3 6
12.，,0.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)
【解析】易将 作为有理数，有理数可化为分数形式，但分子或分母不是整数的分数形式的数不一定是有理数.
13. C
14.解:负数集合:
非负整数集合:{4,0,-(-5),…};
分数集合：
无理数集合：{0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多1个0),
解：答案不唯一，示例，
16.解：设梯子顶端到地面的距离为xm，由题意，得 x =7 -2 =45.
因为 45 既不是整数的平方，也不是分数的平方，所以x是无理数.所以梯子顶端到地面的距离是无理数.因为6 =36,45>6 , 所以这名同学能拿到球.
17.解：设新台布的边长为am，则 a =1 +1 =2,
因为1.3 =1.69＜2, 所以 a＞1.3.
所以这块大台布能盖住现在的新桌子.
【解析】设，由…可知,……
所以,解得 所以.
(2)解:设，由…可知，…….
所以 ,解得 所以
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