21.2.2 公式法同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学上册 21.2.2 公式法 同步练习题
一、单选题
1．若，则的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
2．方程的两个根是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（　　）
A． B． C． D．
4．下列关于x的方程中，一定没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0或4 B．4或8 C．8 D．4
7．已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
8．用公式法解方程时，Δ＝（　　）
A． B． C． D．
9．一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形边长为4，点在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，，连接，下面四个说法中有正确的有　　
①当时，；②当时，点，，共线；③当与面积相等时，则；④当平分时，则．

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．方程的根是 ．
12．已知方程，则此方程的解为 ．
13．已知，，是整数，满足，，，若关于的方程的解只有一个值，则的值是 ．
14．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为 ．
15．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积是 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)．
(2)．
17．解方程：．
18．解方程：；
19．已知关于 的方程 有两个相等的实数根，请写出 和 的关系．
20．已知关于的方程．
(1)若方程的一个根为，求方程的另一个根；
(2)若方程有两个实数根，求的取值范围．
21．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于A、B两点，点C的坐标为，D是线段上一点，直线过点C和点D．
(1)若，求直线的函数关系式，并求出的面积；
(2)当是以为底边的等腰三角形时，求直线的函数关系式．
22．如图，中，，，，且关于x的方程有两个相等的实数根．

(1)判断的形状．
(2)若平分，且，、为方程的两根，求k的值．
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
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参考答案：
1．B
【分析】把当作一个整体，利用平方差公式即可求解
【详解】解：，
，
，
故答案选：B．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程-直接开平方法，掌握平方差公式及把看成一个整体是解题关键．
2．A
【分析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：移项得：，
两边直接开平方得：，
则，，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
3．C
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
4．C
【分析】分别根据一元二次方程根的判别式逐项计算进行判断即可求解．
【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、原方程化为一般形式为，，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C、，方程没有实数根，符合题意；
D、，方程有两个不相等的实数根，不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的判别式判断方程实数根的情况，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．注意计算一元二次方程根的判别式要注意先将方程化为一般形式才能进行计算．
5．A
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵方程中，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6．D
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立方程，求出值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，（舍去）．
∴k的值为4，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
7．D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次不等式组，然后求解即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数解，
∴且，
解得：且．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8．D
【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴Δ＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
9．C
【分析】先利用求根公式解方程得到，，然后利用无理数的估算进行判断．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
而，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
10．B
【分析】①由勾股定理求出，再求出即可判断；②过点作，交的延长线于点，利用说明，得，，从而说明，则，即可判断；③根据，与面积相等，可得的长；④在上截取，连接，通过导角可得，则，进而判断结论．
【详解】解：①当时，在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，，故①正确；
②当时，如图，过点作，交的延长线于点，

是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
当时，点，，共线，故②正确；
③如图，，
，，
，
与面积相等，
，
，
或（舍去），故③正确；
④如图，在上截取，连接，

，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．
【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键．
12．，
【分析】根据直接开平方法可进行求解．
【详解】解：
，
∴，；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
13．或或
【分析】由结合，为整数可求出将其代入中可求出的值，结合可确定的值，将，的值代入中，分二次项系数为零及非零两种情况找出的值，此题得解．
【详解】解：，即，
，
，同号，
，
，只能同时为正数，
，只可能一个是，一个是，
，
将代入，
得，
或，
，
，
方程可变为，
当时，原方程为，
解得：，
符合题意，
当时，，
解得：或，
综上所述，的值为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，依照已知条件求出，的值是解题的关键．
14．且
【分析】根据一元二次方程的根的判别式以及定义求解，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程有实数根，
，
解得：，
又，
，
m的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及定义，解题关键是掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．
15．
【分析】解一元二次方程得到，再利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：解得到，
∴菱形的两条对角线长分别是，
∴菱形的面积是，
故答案为：
【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程和利用菱形的性质求面积，正确解方程是解题的关键．
16．(1)
(2)原方程无实数根．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程无实数根．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．，
【分析】根据公式法解方程即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴， ．
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
18．
【分析】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
19． 且 ，．
【分析】先化为一般式，然后根据判别式即可求出答案．
【详解】解：原方程化为一般形式：
依题意，得 ，且
，
且 ，．
【点睛】此题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于中等题型．
20．(1)方程的另一个根为
(2)的取值范围为
【分析】（1）把方程的一个根为代入方程，求出的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解；
（2）运用根的判别式大于等于零，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程的一个根为，把根代入方程，
∴方程得，，解得，，
∴原方程为，
因式分解得，，
∴得；得，
∴原方程的解为，，
∴方程的另一个根为．
（2）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，即，
解得，，
∴的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)，3
(2)
【分析】（1）将代入中，求出：，再分别求出点A和点B的坐标，再利用三角形面积公式计算；
（2）分析得出，设，求出和，得出方程，解之可得点D坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：当时，：，
将代入中，得，
解得：，
∴：，
在中，
令，则，即，
令，则，即，
联立：，解得：，
∴，
∴；
（2）∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵直线过点D，
设，
∵，，
∴，
解得：（舍）或，
∴，
将C，D代入中，
得：，解得：，
∴直线的函数关系式为．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意根据图象进行分析，将点的坐标与线段长度联系起来．
22．(1)是直角三角形
(2)
(3)
【分析】（1）根据有两个相等的实数根可得即可得出结论；
（2）过D作的垂线，作的垂线，由定理得出可得，再由根与系数的关系即可得出结论；
（3）由（2）求出的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴，
∴，即，
∴是直角三角形；
（2）如图，过D作的垂线，作的垂线，

由（1）知，，
∵平分，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得
当时，原方程为，解得，即，
当时，原方程为，解得，不符合条件，
∴；
（3）由（2）可得，
∴，，
∵，
∴
在中，，
∴，
解得,
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，根与系数的关系、勾股定理，角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
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