21.2.3 因式分解法同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学上册 21.2.3 因式分解法 同步练习题
一、单选题
1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果，那么的值为（　　）
A．2或 B．2 C．0或2 D．
4．已知关于的方程，，则下列说法正确的是( )
A．不存在的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个的值，使得方程没有实数解
C．无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论为何值，方程有两个不相等的实数根
5．在中，，三边长为整数，且两直角边的长为关于的一元二次方程的两实数根，其中为正整数，则的面积是( )
A． B． C．或 D．或
6．若，则的值是（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或6
7．若，则（　　）
A． B．4 C．或4 D．或3
8．实数满足方程，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
9．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
10．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或3
二、填空题
11．一元二次方程的根是 ．
12．小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
13．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算如下，，如：．若，则的值是 ．
14．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
15．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)解方程．
17．解方程
(1)
(2)
18．解方程：
19．请选择适当的方法解下列一元二次方程：．
20．按照指定方法解下列方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）；
(3)．
21．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是等腰三角形时，求的值．
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参考答案：
1．C
【分析】先移项，然后由因式分解法解方程，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，；
故选：C．
【点睛】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
2．C
【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断．
【详解】解：A、移项得：，因为，所以原方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B、因为，所以原方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、给方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得，经检验时不满足原方程，所以，所以C选项符合题意；
D、解方程得，经检验当时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了解无理方程、一元二次方程、分式方程等知识点，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解．
3．B
【分析】首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
解得，，
当时，，
故，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元一次方程，零指数次幂，最后检验是解题的关键．
4．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
A．存在k的值，使得方程有两个相等的实数根；故错误，不符合题意；
B．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，
∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根，正确，符合题意；
D．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．B
【分析】首先利用根的判别式求出的取值范围，进而分别得出符合题意的值；
【详解】解：∵，
解得，
为正整数，
或
当时，，
解得：，，
此时不为整数，故舍去，
当时，，
解得：，，
故，，则；
的面积是，
故选：B．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根的判别式，勾股定理，分类讨论是解题关键．
6．B
【分析】设，而，可得，再解一元二次方程即可．
【详解】解：设，
∴
∴，
∴，
∴或，
解得：，（不符合题意舍去）；
∴，
故选B
【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键．
7．B
【分析】运用换元法解方程即可．
【详解】解：设，则原方程转化为，
整理，得，
解得（舍去）．
则．
故选：B．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，注意的非负性是解题的关键．
8．B
【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设，则原式变形得，
因式分解法解一元二次方程得，，
∴，，
当时，，变形得，，根据判别式，无实根；
当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．
9．D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
10．C
【分析】利用换元法求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴或，
解得或，
∴或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．
11．
【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴或．
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．
【分析】由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．
【详解】解：原式为
，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解，本题的方程有些学生容易在方程两边除以x，求出，忽略的情况，造成错解方程．
13．或
【分析】根据新定义的运算列出方程，利用因式分解法解方程，通过解该方程即可求得x的值．
【详解】解：根据题意，得
，即，
∴，
∴或，
解得，或．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．解答该题的关键是根据新定义的运算法则列出关于x的一元二次方程．
14．
【分析】根据换元法即可求解．
【详解】解：方程，如果设，
∴
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
15．，
【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可．
【详解】解：，
设，则原方程化为：
，
，
解得：，，
当时，，
算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当时，，
方程两边平方，得，
解得：，，
经检验，都是原方程的解．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
16．(1)
(2)，
【分析】（1）先进行乘方运算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）原式
；
（2），
，
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
17．(1)，
(2)原方程无解
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴不是原方程的解，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，熟知相关解方程的方法是解题的关键，注意，解分式方程最后一定要检验．
18．，
【分析】移项后，利用因式分解法求解．
【详解】解：移项得：，
因式分解得：，
所以或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
19．，
【分析】根据方程的特点选择配方法或因式分解法求解即可。
【详解】解：，
，
，
，
∴，，
∴，．
或：因式分解得：，
即或，
，．
【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，正确选择适当的一元二次方程的解题方法是解题关键．
20．(1)，；
(2)
(3)，
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用分解因式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）解：，
，，，
，
，
解得：；
（3）解：
整理得：，
分解因式得：，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
21．(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，；
（2）设，代入得到． 解得，，根据，得到；
（3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得．
【详解】（1）设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
（2）设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
（3）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．
22．(1)见解析；
(2)或．
【分析】（1）证明即可；
（2）根据 是等腰三角形分类讨论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：当时，原方程为：，
解得：，
当时，原方程为：，
∴，．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意；
当时，则有：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意．
综上所述：的值为或．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，对等腰三角形进行分类讨论．
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