21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学上册
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题
一、单选题
1．已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（　）
A． B．0 C．2 D．4
2．已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
4．若方程有一个根是1，则另一个根是( )
A．1 B． C． D．2
5．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
6．若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．5 B．1 C． D．
8．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ）
A． B． C．1 D．
9．如果x、y是两个实数（）且，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．2023
10．已知和是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2023
二、填空题
11．已知a、b是方程的两根，则 ．
12．关于x的一元二次方程的其中一个根是1，则两根的和为 ．
13．若一元二次方程的两个根是、，则的值是
14．已知一元二次方程的两个解分别为，，则的值是 ．
15．若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ．
三、解答题
16．若，是方程的两实数根，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
17．已知：关于的方程有一个根是，求另一个根及的值．
18．（1）解方程：；
（2）已知点，，在同一直线上，求m的值．
19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的一个根为4，求方程的另一根．
20．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若取负整数，求的值；
(3)若该方程的两个实数根的平方和为18，求的值．
21．已知一元二次方程．
若方程两根为和，则；
若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
若是方程的一个根，则一定有成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
22．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：解方程：．
(2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值．
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值．
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参考答案：
1．B
【分析】设另一根是a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．
【详解】解：设方程的另一根为a，
∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得，．
故选：B．
【点睛】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
2．C
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
3．D
【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．
【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．
4．C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解．
【详解】解：由题意可得，方程的一个根为，设方程的另一个根为，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根，是解题关键．
5．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【详解】根据题意，得
故选：B
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
6．D
【分析】以，为根的一元二次方程的形式是，根据这个公式直接代入即可得到所求方程．
【详解】解：A、中，，，不符合题意；
B、中，，，不符合题意；
C、中，，，不符合题意；
D、中，，，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，的两根分别为，，则，．
7．C
【分析】根据根与系数的关系求出，即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．
8．C
【分析】可利用一元二次方程根与系数关系求解即可．
【详解】解：设一元二次方程的另一个根为x，
∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
9．C
【分析】由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，而，，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键．
10．A
【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解；
【详解】和是方程的两个根，
，
，
，，
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．
11．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
12．3
【分析】直接把代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得两根的和．
【详解】解：∵方程的其中一个根是1，
∴，
解得，
∵两根的和为，
∴两根的和为3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．
13．
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
14．0
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后变形得到，再利用整体思想进行计算．
【详解】解：一元二次方程的两个解分别为，，
，，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，利用完全平方公式的变形得出是解题的关键
15．3
【分析】根据根与系数的关系得到，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．
【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得或，
又∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1），是方程的两实数根，，，再利用，从而可得答案；
（2）利用，再整体代入即可得到答案；
（3）由，是方程的两实数根，可得，再利用，再整体代入进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，是方程的两实数根，
∴，，
∴；
（2）；
（3）∵，是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
17．方程的另一根为，的值为
【分析】根据根与系数的关系：，即可得出答案．
【详解】解：设方程的另一根为，
则由韦达定理知：，
，
方程的另一根为，的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）利用直线上的点和求出直线的解析式，再把点代入解析式求出m的值．
【详解】（1）解：移项，得：，
提公因式，得，
或，
．
（2）设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入，得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，用待定系数法求一次函数的解析式，掌握相关的方法是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的取值范围；
（2）设方程另一个根为，根据根与系数的关系得到，然后解关于的一次方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得： ；
（2）解：设方程另一个根为，
根据题意得，
解得，
即方程的另一根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义．
20．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得且取负整数，即可得到或，分两种情况：当时，当时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：∵且取负整数，
∴或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
∴，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
∴，
综上所述：的值为8或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知：，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形，是解题的关键．
21．正确，理由见解析
【分析】①利用根与系数的关系进行判断即可；②利用判别式进行判断即可；③根据方程的根的定义，得到，进行判断即可．
【详解】解：正确，理由如下：
方程两根为和，
，
，
正确；
，
，
正确；
是方程的一个根，
，
，
，
正确；
正确．
【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确的进行运算．
22．(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可；
（2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可；
（3）设，，则可得，进一步得到，再证明，推出；由，可得，即．
【详解】（1）解：设，则方程可化为，
∴，
∴或，
∴或（舍去），
∴；
（2）解：∵实数m，n满足：，
∴实数m，n是方程的两个实数根，
∴，
∴
；
（3）解：设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
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