22.1.2 二次函数的图像和性质同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学 上册
22.1.2 y=a(x-h)2+k二次函数的图像和性质 同步练习题
一、单选题
1．抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同
2．二次函数的图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
5．如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ）
A．，取任意实数 B．，
C．， D．，均可取任意实数
6．已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若：，则 D．若，则
7．如图，A、B、C三点均在二次函数的图像上，M为线段AC的中点，轴，且．设A、C两点的横坐标分别为、（），则的值为（ ）

A．3 B． C． D．
8．抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
9．抛物线与抛物线的相同点是（　　）
A．顶点相同 B．对称轴不相同
C．开口方向一样 D．顶点都在y轴上
10．抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．抛物线的对称轴是 ．
13．二次函数的开口方向是 ．
14．如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 ．
15．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ．
三、解答题
16．抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标．
17．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
18．若函数的图象是一条抛物线．当满足什么条件时，抛物线有最低点？求出这个最低点，并说明这时抛物线的开口方向、增减性．
19．已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
20．通过列表、描点、连线的方法画函数的图象．
21．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
22．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点．若一元二次方程有实数根，整点的坐标为，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
(1)在图1中画一个直角三角形．
(2)在图2中画一个等腰三角形．
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参考答案：
1．B
【分析】从所给抛物线的开口方向、对称轴、最高点或最低点、顶点坐标等方面考虑即可完成．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线，开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线的图象与性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
3．D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据二次函数的性质依次判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
5．B
【分析】二次函数的值恒大于，则该函数开口向上，顶点在x轴上方，由此即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的值恒大于，
∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方，
∴，．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，对称轴为轴，
∴在轴左侧，随的增大而增大，在轴右侧，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
A、，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项A错误；
B、，不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项B错误；
C、当，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项C错误；
D、当，即：，
∴或，
当时，，
当时，，
∴当时，；故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．
7．D
【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出．
【详解】解：设点坐标为，
轴，，
，
、、三点均在二次函数的图象上，
，
为线段的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图像理清点坐标之间的关系．
8．B
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题．
【详解】∵
∴抛物线的开口向下．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．D
【分析】由抛物线与抛物线，可知，对称轴是轴，顶点都在轴上，进而求解．
【详解】解：∵抛物线与抛物线，对称轴是y轴，顶点都在y轴上，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
10．D
【分析】根据图形，求出过、(2，1)两点的抛物线解析式可确定a的取值范围．
【详解】解：当时，抛物线与直线，，，围成的正方形没有公共点，
则，画出草图如图，
把代入得，
把点代入得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象及性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
11．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
当时，
∴顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的顶点，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为．
12．y轴
【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，
故答案为：y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．
13．向上
【分析】根据函数解析式中a的值直接解答．
【详解】解：∵，
∴图象开口方向是向上，
故答案为：向上．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】根据二次函数的图象可进行求解．
【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则有；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．
【分析】可设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为，将代入抛物线，即可求出B点坐标，再根据正方形对角线相等的性质，可得，根据B点的坐标求出，即可解题．
【详解】解：如图，连接，,
四边形是正方形，
，
设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为，
将代入抛物线，
得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，正方形的性质，求出点B是解题的关键．
16．或
【分析】将代入求解即可．
【详解】∵抛物线上一点到轴的距离为8，则点纵坐标为，
把代入得、．
∴该点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是把代入求解．
17．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据二次函数的定义得到，然后得到满足条件的的值为或；根据二次函数的性质得，当时，抛物线有最低点，所以，则，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性．
【详解】解：∵函数的图象是一条抛物线．
∴，
解得：或，
当时，抛物线有最低点，所以，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的最低点是原点，开口向上，在轴的左侧，随的增大而减小，在轴的右侧，随的增大而增大．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，顶点坐标，开口方向，增减性，熟记二次函数的定义是解题的关键．
19．(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
20．见解析
【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象．
【详解】解：列表得：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
描点、连线．
【点睛】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键．
21．(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，整点的坐标为，得出整点在二次函数图象下方，根据勾股定理与网格画出直角三角形；
（2）同（1）的方法画出等腰三角形．
【详解】（1）解：∵若一元二次方程有实数根，整点的坐标为，
∴，
∴
∴整点在二次函数图象下方，
如图所示，
观察图象，可得直角三角形即为所求
（2）解：如图所示，
【点睛】本题考查了二次函图象的性质，勾股定理与网格问题，求得点的范围是解题的关键．
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