22.1.3 二次函数的图像和性质同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学上册
22.1.3 二次函数的图像和性质 同步练习题
一、单选题
1．点、在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．着，则
4．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的顶点坐标是( )．
A． B． C． D．
8．点，是抛物线上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在函数，y随x增大而减小，则x的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，若，是它图象上的两点，则与的大小关系是（　　）

A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
二、填空题
11．二次函数的最大值为 ．
12．抛物线的对称轴是直线 ．
13．请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ．
14．抛物线的顶点坐标是 ．
15．与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为 ．
三、解答题
16．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
17．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
18．在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
19．已知二次函数
(1)将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2)当取何值时，随的增大而减小．
20．已知抛物线．
(1)确定抛物线开口方向及对称轴；
(2)当为何值时，二次函数取得最大值或最小值，并求出这个最大值或最小值？
21．已知函数．
(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当取何值时该函数有最值，并求出最值．
(3)当取何值时，随的增大而减小．
22．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
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参考答案：
1．C
【分析】将A和B分别代入二次函数中求出和的值，然后比较大小．
【详解】解：∵点是二次函数图象上的点，
∴；
∵点是二次函数图象上的点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能计算出结果再比较是解题的关键．
2．A
【分析】将，代入，求出和的值作比较即可．
【详解】解：将，代入，
得：，，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．
3．C
【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
4．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线的对称轴是直线．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题的关键．
5．B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点式可知，抛物线的顶点坐标是．
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
7．A
【分析】根据抛物线顶点式的顶点坐标为可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．C
【分析】根据二次函数的增减性判断即可．
【详解】∵抛物线
∴当时，随的增大而减小，
∵点，是抛物线上的两点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的增减性，也可以求出函数值再去比较大小．
9．D
【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴函数图像开口向上，
当时，随的增大而减小．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数（，，为常数，），当时，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小．
10．C
【分析】根据图象可知抛物线对称轴，在对称轴右侧y随x增大而减小，从而可求得这两点对应的纵坐标大小．
【详解】解：根据图象可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧y随x增大而减小，，
∵，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，解题关键是根据二次函数图象，确定函数的增减性．
11．0
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：对于二次函数，
∵，
∴当时，函数有最大值0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
12．
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的解析式的顶点式，可知顶点坐标为；再由二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当时，开口向下，从而写出答案．
【详解】解：顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
又二次函数的图像开口向上，
，取，得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是解此题的关键．
14．
【分析】将变形为的形式，即为抛物线的顶点坐标．
【详解】变形，得
．
所以，抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的特点，牢记二次函数的特点是解题的关键．
15．或
【分析】设解析式为，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：设解析式为，
∵抛物线形状与相同，
∴，
∵顶点为（3，），
∴，，
∴解析式为、．
故答案为：或
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a相等或互为相反数．
16．(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．见解析
【分析】根据图象性质，得出开口方向，运用配方法，化为顶点式，得出对称轴及顶点坐标，根据解析式列表，描点画图．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
列表如下：
x … -1 0 1 2 3 …
… 0 6 8 6 0 …
画图描点如下：
．
【点睛】本题考查了配方法，二次函数的图像与性质，描点法画函数图象，熟悉二次函数解析式是解题的关键．
18．见解析
【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。
【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．
先列表：
x … 0 1 2 3 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点、连线，画出这三个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小．
开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小．
开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小．
【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键．
19．(1)；对称轴是直线，顶点坐标是
(2)当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
【详解】（1）
该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）如图，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
20．(1)开口向下，直线；
(2)当时，该二次函数的最大值是
【分析】（1）根据函数解析式的特征即可判断抛物线的开口方向；
（2）根据二次函数的解析式特征即可得到结果．
【详解】（1）解：∵抛物线中的
∴该抛物线开口向下
∵抛物线解析式
∴该抛物线的对称轴是直线
（2）解：∵抛物线解析式
∴抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标是
∴当时，该二次函数的最大值是
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线
(2)当时，函数有最大值
(3)当，随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可；
（2）根据开口方向和顶点坐标得出最值；
（3）由对称轴和开口方向得出增减性．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）抛物线开口向下，函数有最大值，
∵顶点坐标为，
∴当时，函数有最大值-4；
（3）对称轴，开口向下
∴当，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键．
22．(1)抛物线的解析式为
(2)抛物线与轴的交点坐标为
(3)时，函数值随着的增大而减小
【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可；
（2）计算自变量的值为所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质．
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