22.1.4 二次函数的图像和性质同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学上册
22.1.4 二次函数的图像和性质 同步练习题
一、单选题
1．如图所示，二次函数的一部分，点A在图像上，且图像经过，下列说法正确的是（ ）

① ②③ ④ 是抛物线上的三点，若，且，则
A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①②④
2．二次函数，当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）

A． B． C． D．
4．在抛物线上有，和三点，则、和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
8．在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则；⑤当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，抛物线（）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（，0），其部分图象如图所示，下列结论；①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 ．
12．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．

14．如图，在正方形 中，，以 为圆心， 长为半径画弧，点 为弧 上一点， 于 ，连接 ，则 的最大值为 ．

15．甲、乙两位同学个给出某个函数的一个特性 甲：“当时，函数值y随x的增大而增大”：乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 ．
三、解答题
16．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点 是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．

(1)当点的坐标为时，直接写出的值；
(2)关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；
(3)在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
19．关于的函数的图像是一条开口向上的抛物线，对称轴为直线，求这条抛物线的顶点坐标．
20．如图所示，距离地面有一定高度的某发射装置OA竖直地面发射物体，物体离地面的高度y（米）与物体运动的水平距离x（米）之间满足函数关系是二次函数关系．发射装置上下移动时，物体的运动路线随之竖直上下平移，物体落点与点O在同一水平面．当物体运动的最高点B时离地面米时，物体水平距离为1米，此时物体的落地点距发射装置的水平距离为3米．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当发射装置OA的高为m时，物体落点与发射装置的水平距离为 m；
(3)技术人员调试时，发现物体的落地点处刚好有一高2米的宣传专栏（专栏的厚度忽略不计），为了保证该物体的落地点与发射装置在宣传专栏的异侧，且宣传专栏不被砸到，技术人员则要调整发射装置的高度，问发射装置的高度至少为多少米时，该物体不被砸到？
21．已知二次函数为常数．
(1)若该函数图象过点，求的值和图象顶点坐标；
(2)在（1）的情况下，当时，求的取值范围；
(3)当，随的增大而增大，，是该函数图象上的两个点，对任意的，，，总满足，求的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的最大面积．
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参考答案：
1．C
【分析】利用对称性和已知信息，首先确定出抛物线的对称轴，并综合二次函数图像与各项系数之间的关系综合判断即可．
【详解】解：当时，，即抛物线过点，
∵点A在图像上，
∴抛物线的对称轴为直线，
将代入抛物线得：，
∴二次函数最大值为，
当时，，
由图像可得：，，
整理可得：，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即：，
由图像可得，当时，，即：，
∴，即：，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且图像经过，
∴该抛物线还过点，
将代入抛物线得：，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵该抛物线开口向下，
∴，故④正确；
∴正确的有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，以及二次函数的基本性质，掌握二次函数相关性质，准确从图像中获取关键信息是解题关键．
2．B
【分析】先根据二次函数的解析式确定对称轴；再根据“时，y随x的增大而减小”可知开口方向向下，进而确定出a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数，
∴该二次函数的对称轴为直线．
又∵当时，y随x的增大而减小，
∴，且．
∴
故选B．
【点睛】此题考查的是二次函数图象与系数的关系，要确定出a的取值范围，需借助二次函数图象的性质进行分析．
3．D
【分析】根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可．
【详解】解：把原点代入抛物线解析式，得，
解得，
∵函数开口向上，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．
4．C
【分析】根据二次函数的图象和性质可知，抛物线图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大，再利用二次函数的对称性得到点A的对称点坐标，最后根据增减性即可判断大小得到答案．
【详解】解：抛物线，
，即抛物线的开口向上，抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
点在抛物线上，
∴的对称点为，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
5．B
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
6．A
【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立
解得：或
∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，
∴点在点的左侧，即，，
当时，
对于，当，，此时，
∴，
∴
∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
7．B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
8．C
【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得:，且
所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴，
对称轴位于y轴左侧，
∴a，b同号，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①正确；
∵二次函数的对称轴为，
∴
∴
故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴，
故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为且方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，故④错误；
由图象可得，当时，y随x的增大而减小，
故⑤错误．
所以，正确的结论是①②③，共3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
10．A
【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为由此即可判断①②；根据，可得即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴，即，方程的两个根是，，
故①②正确；
∵，
∴，即，
故③正确；
由函数图象可知当时，的取值范围是，当时，随增大而增大，故④错误，⑤正确；
∴正确的一共有4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
11．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：由题意可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键．
12．
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．和
【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
14．2
【分析】过M作于E，设，根据勾股定理表示出的长为，从而得到，根据二次函数的性质即可得到的最大值．
【详解】解：过M作于E，由题意可知四边形为矩形，，

∵，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
则，
设，则，
∴，
当时，取最大值，
将代入，得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的最大值问题，正方形的性质，把几何问题转化为函数问题是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】根据函数的图象与性质即可得到答案．
【详解】解：根据题中的描述可判断，符合题意的函数只能为一次函数和二次函数，
∴符合题意的函数可为：，等，
故填：，答案不唯一．
【点睛】本题考查函数的图象与性质，熟悉各个类型的函数的图象和性质是解题的关键．
16．(1)
(2)或或
(3)，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
18．(1)
(2),
(3)存在，当 时，面积为；当 时，面积为；当 时，面积为
【分析】（1）先求得点的坐标，过点作于点，则，进而可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，，得出点的坐标，即可求解；
（2）把代入中解得：，过作轴，交于，得出的解析式为：，进而得出 点的坐标，根据三角形的面积公式得出，把代入得：，解方程即可求解；
（3）分两种情况：①当时，②当时，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，直线与直线相交于点，
则，
∴，
如图所示，过点作于点，则

∴，,
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
即；
（2）解：由题可知：当时，，
把代入中解得：，

如图3， 过作轴，交于，

由(1)知：当时，，，，
， 设的解析式为：，
则，解得，
的解析式为：，
，，
，
，
把代入得：，
解得：；
（3）存在，设，分两种情况：
①当时，如图4，

，，
，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，(舍，
，即在轴上，
，，
；
②当时，如图5，

，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
或，
解得：(舍或，
中，，
即，
把代入得：，
解得：或3，
当时，如图5，则，
，，
，，
；
当时，如图6，

此时，，，，
．
综上所述，存在点使得为直角三角形，当 ，时，面积为；当 ，时，面积为；当 ，时，面积为．
【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是运用两点的距离公式计算或表示线段的长．
19．
【分析】根据二次函数的定义，求得的值，进而根据对称轴确定的值，进而化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵关于的函数的图像是一条开口向上的抛物线，
∴，即，且，
解得：，或（舍去）
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
∴抛物线的顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，化为顶点式，熟练掌握二次函数的定义以及二次函数的性质是解题的关键．
20．(1)；
(2)4；
(3)发射装置的高度至少为3米时，该物体不被砸到；见解析．
【分析】（1）设抛物线解析式为，经过点，求得，得；
（2）由知抛物线与y轴交于点，即,由题意，抛物线向上平移，新抛物线解析式为，与x轴正半轴交于点，得物体落点与发射装置的水平距离为；
（3）根据题意，抛物线需向上平移至少2m，则新抛物线为，发射装置高调整至少为m，得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，经过点
∴，解得
∴．
（2）解：由知时，，抛物线与y轴交于点，即,
发射装置OA的高为m时,则抛物线向上平移，新抛物线解析式为
，
时，，解得，，与x轴正半轴交于点
∴物体落点与发射装置的水平距离为．
（3）解：根据题意，时，需，故抛物线需向上平移至少2m，
向上平移2m，则新抛物线为，
时，，
∴发射装置高调整至少为m；
答：发射装置的高度至少为3米时，该物体不被砸到．
【点睛】本题考查二次函数解析式，图象平移与解析式变化，掌握平移时解析式的变化是解题的关键．
21．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】（1）求出顶点坐标为，把点代入中，求出a即可；
（2）求得对称轴为直线，故当时取最小值，时取最大值，据此即可求得的取值范围；
（3）由题意，即可得到，，从而求得，，根据二次函数图象上点的坐标特征求得时，最小为，时，最大为，即可得到，即可求得．
【详解】（1）解：，
顶点坐标为，
把点代入中得：，
解得：，
抛物线的顶点为；
（2）由（1）得二次函数解析式为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时函数在时取最小值为，
在时取最大值为，
故的取值范围；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
当，随的增大而增大，
对称轴，即，
，，
时，最小为，
时，最大为，
所以，解得，
综上所述．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)存在，P点的坐标为；
(3)当时，四边形的面积最大，P点的坐标为，最大值为．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形为菱形，那么P点必在的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线于Q，交x轴于F，易求得直线的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到的长，以为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：；
（2）解：存在点P，使四边形为菱形；
设P点坐标为，交于E
若四边形是菱形，则有；
连接，则于E，

∵，
∴，
又∵，
∴
∴；
∴
解得，（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为；
（3）解：过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，

设，设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
则Q点的坐标为；
当，
解得：，
∴，
当时，四边形的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
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