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人教版 九年级数学上册
22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习题
一、单选题
1.设二次函数是实数,则( )
A.当时,函数的最小值为 B.当时,函数的最小值为
C.当时,函数的最小值为 D.当时,函数的最小值为
2.关于的方程的两根分别是,,若点是二次函数的图象与轴的交点,过作轴交抛物线于另一交点,则的长为( )
A. B. C.2 D.3
3.如图,抛物线(,为常数)经过点,点,点在该抛物线上,其横坐标为,若该抛物线在点左侧部分(包括点)的最低点的纵坐标为.则的值为( )
A. B. C. D.或
4.某人画二次函数的图象时,列出下表(计算没有错误):
x
y
根据此表判断:一元二次方程的一个根x1满足下列关系式( )
A. B.
C. D.
5.对于,,有以下两个结论:
①当时,;②当时,;③当时,;④时,,其中正确的结论是( )
A.①② B.③④ C.①③④ D.①②④
6.如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线相交于点,.结合图象,判断下列结论:①当时,;②是方程的一个解;③若,是抛物线上的两点,则;④对于抛物线,,当时,的取值范围是.其中正确结论的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.如图,抛物线与x轴相交于点,,与y轴相交于点C,甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质,下面是他们得出的结论,其中正确的个数是( )
甲:
乙:当时,
丙:
丁:
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知,若关于x的方程的解为.关于x的方程的解为.则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
9.二次函数的部分图像如图所示,对称轴是直线,抛物线与轴的一个交点在点和点之间,有下列结论:①;②;③;④若点在二次函数的图像上,则关于的一元二次方程的两个根分别是,.其中正确的个数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
10.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数的图象过点(1,0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称,根据现有信息,题中的二次函数一定不具有的性质是( )
A.过点(3,0) B.顶点是(-2,2)
C.在轴上截得的线段的长是2 D.与轴的交点是(0,3)
二、填空题
11.关于x的二次函数与x轴有交点,且关于y的分式方程的解为整数,则所有满足条件的整数a的值之和是 .
12.如图,抛物线与y轴交于点A,过的中点作轴,交抛物线于B、C两点(点B在C的左边),连接、,若将向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线上,则点O平移后的坐标为 .
13.如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是 .
14.已知二次函数与一次函数的图象相交于点.如图所示,则能使成立的x的取值范围是 .
15.如图,二次函数的图象的顶点坐标为,则以下五个结论中:①,②,③,④,⑤方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论有: (写序号).
三、解答题
16.已知抛物线:,其中为常数,且,将抛物线关于原点对称的抛物线记为.
(1)抛物线的解析式为______;
(2)抛物线与轴的交点坐标为______;
当图象的最低点到轴距离为3时,求的值;
(3)抛物线、抛物线合起来得到的图象记为,当时,若点在图象上,求的值.
17.如图,抛物线与y轴交于点C,与直线交于点,B,已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)请直接写出满足不等式(x-2)2+m-kx-b>0的x的取值范围.
18.已知二次函数.
(1)画出二次函数图象;
(2)写出二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴;
(3)当时,x的取值范围是______.
19.已知二次函数 ,为常数.
(1)当,时,求二次函数的最小值;
(2)当时,若在函数值的情况下,只有一个自变量的值与其对应,求此时二次函数的解析式;
(3)当时,若在自变量的值满足的情况下,与其对应的函数值的最小值为,求此时二次函数的解析式.
20.如图,二次函数的图像与轴交于、两点,与轴交于点,点、是二次函数图像上一对对称点,一次函数的图像过点、.
(1)直接写出点、的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)将二次函数向左平移2个单位,并向下平移2个单位,写出得到的图像的解析式;
(4)根据图像求的解集.
21.已知抛物线.
(1)求抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标;
(2)求抛物线与轴的交点坐标.
22.定义:我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”.例如:点、……都是“青竹点”.显然,函数的图象上有两个“青竹点”:和.
(1)下列函数中,函数图象上存在“青竹点”的,请在横线上打“√”,不存在“青竹点”的,请打“×”.
①________; ②________; ③________.
(2)若抛物线(m为常数)上存在两个不同的“青竹点”,求m的取值范围;
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”,且当时,a的最小值为c,求c的值.
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参考答案:
1.A
【分析】令,则,解得:,,从而求得抛物线对称轴为直线,再分别求出当或时函数y的最小值即可求解.
【详解】解:令,则,
解得:,,
∴抛物线对称轴为直线
当时, 抛物线对称轴为直线,
把代入,得,
∵
∴当,时,y有最小值,最小值为.
故A正确,B错误;
当时, 抛物线对称轴为直线,
把代入,得,
∵
∴当,时,y有最小值,最小值为,
故C、D错误,
故选:A.
【点睛】本题考查抛物线的最值,抛物线对称轴.利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.
2.C
【分析】将,代入方程,求得,的值,得到二次函数解析式,进而求得点和点的坐标,即可求得答案.
【详解】解:将,代入方程,得
解得
二次函数解析式为.
点坐标为.
将代入二次函数,得
,
解得,.
点坐标为.
的长为.
故选:C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系,以及二次函数的图象和性质,牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键.
3.D
【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标,再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况,分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可.
【详解】解:将,分别代入得,
解得
,
,
抛物线顶点坐标为,对称轴为直线,
当时,抛物线顶点为最低点,
,
解得,
当时,点P为最低点,
将代入得,
解得(舍),,
或,
故选:D.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是掌握二次函数的性质,二次函数与方程的关系,通过数形结合求解.
4.B
【分析】观察表格可知,~之间,随的值逐渐增大,的值在~之间由负到正,故可判断时,对应的x的值在~之间.
【详解】解:根据表格可知,时,对应的x的值在 之间.
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系,关键是观察表格,确定函数值由负到正时,对应的自变量取值范围.
5.D
【分析】令,则,令,解得,,则二次函数的图象开口向上,与轴的交点的横坐标为和,根据当时,和当时,并判断当、时的的取值范围,即可得出答案.
【详解】解∶令,则,
∴,
∵令,解得,,
∴的图象开口向上,与轴的交点的横坐标为和,如图:
∴当时,即时,,
当时,即时,或,
∴①②④正确,
故选:D.
【点睛】本题考查了利用二次函数的图象判断一元二次不等式的解集的问题,令,并根据二次函数的图象判断当、时的的取值范围是解答本题的关键.
6.B
【分析】根据函数图象直接判断①②,根据题意求得解析式,进而得出抛物线与轴的交点坐标,结合图形即可判断③,化为顶点式,求得顶点坐标,进而即可判断④,即可求解.
【详解】解:根据函数图象,可得当时,,故①正确;
∵在上,
∴是方程的一个解;故②正确;
∵,在抛物线上,
∴
解得:
∴
当时,
解得:
∴当时,,
当时,,
∴若,是抛物线上的两点,则;故③正确;
∵,顶点坐标为,
∴对于抛物线,,当时,的取值范围是,故④错误.
故正确的有3个,
故选:B.
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质,待定系数法求二次函数解析式,求二次函数与坐标轴交点坐标,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
7.B
【分析】由抛物线与x轴相交于点,得到抛物线对称轴为直线,,即可判断甲;进而得到,即可判断丙;根据函数图象即可判断乙;根据当时,,即可判断丁.
【详解】解:∵抛物线与x轴相交于点,,
∴抛物线对称轴为直线,,即,故甲说法正确;
∴,
∴,即,故丙说法错误;
由函数图象可知当时,或,故乙说法错误;
∵当时,,
∴,
∴,
∴,故丁说法正确;
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质,二次函数与不等式的关系等等,熟知二次函数的相关知识是解题的关键.
8.B
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标,把看做是直线与抛物线交点的横坐标,画出对应的函数图象即可得到答案.
【详解】解:如图所示,设直线与抛物线交于A、B两点,直线与抛物线交于C、D两点,
∵,关于x的方程的解为,关于x的方程的解为,
∴分别是A、B、C、D的横坐标,
∴,
故选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系,正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键.
9.D
【分析】由抛物线对称轴为直线可得与的数量关系,从而判断①,由抛物线与轴有两个交点则可判断②,由抛物线与轴的交点范围及抛物线的对称性可判断③,由抛物线经过,可判断④.
【详解】解:结论①,
∵二次函数的对称轴是直线,
∴,
∴,
∴,故结论①正确;
结论②,
∵对称轴是直线,抛物线与轴的一个交点在点和点之间,
∴抛物线的另一个根在和之间,即抛物线与轴有两个交点,
∴,故结论②正确;
结论③,
由结论②正确可知,对称轴是直线,抛物线的一个根在点和点之间,另一个根在和之间,
∴当时,函数值随自变量的增大而减小,且,
∴当时,,故结论③正确;
结论④若点在二次函数的图像上,则关于的一元二次方程的两个根分别是,,
∵在抛物线的图像上,对称轴为,
∴也在抛物线的图像上,
∴的两个根分别是,,故结论④正确;
综上所述,正确的有①②③④,个,
故选:.
【点睛】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程及不等式的关系.
10.B
【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2,可求得抛物线与x轴的另一交点,则可判断A、C;由抛物线顶点的横坐标应为对称轴,即可判断B;把x=0代入可求得y=c,由c的值有可能为3,故可判断D正确.
【详解】解:由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1,0),抛物线对称轴为x=2,
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),
∴在x轴上截得的线段长是3-1=2,
∴A、C正确,不符合题意;
∵该二次函数图象对称轴为x=2,
∴顶点横坐标应为2,
∴B一定不正确,符合题意;
把x=0代入可求得y=c,
∴当c=3时,抛物线与y轴的交点坐标为(0,3),
∴D有可能正确,不符合题意.
故选B.
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键.
11.
【分析】由二次函数与x轴有交点,可得且,解得,由,解得,由,,可得,,由分式方程的解为整数,可知的值为或或或,然后求和即可.
【详解】解:∵二次函数与x轴有交点,
∴且,解得,
,
解得,
∴,,即,,
∵分式方程的解为整数,
∴的值为或或或,
∴所有满足条件的整数a的值之和是,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程,解分式方程等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
12.
【分析】先求出,从而可得点和点的坐标,再设点平移后的对应点分别为点,则点的横坐标为,点的横坐标为,代入函数解析式可得的纵坐标,从而可得的中点向上平移的距离,由此即可得.
【详解】解:抛物线与轴交于点,
,
过的中点作轴,
点和点的纵坐标均为,
当时,则,解得,
,
如图,设点平移后的对应点分别为点,
则点的横坐标为,点的横坐标为,
当时,,
则的中点向上平移了个单位长度,
所以点也向上平移了个单位长度,
所以点平移后的坐标为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
13.或
【分析】由图象判断是对称轴,与x轴一个交点是,则另一个交点,结合函数图象即可求解.
【详解】解:由图象可知二次函数的对称轴是直线,
与x轴一个交点坐标,
由函数的对称性可得,与x轴另一个交点是,
∴的解集为或,
故答案为:或.
【点睛】本题考查二次函数图象的应用;能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点,数形结合解不等式是解题的关键.
14.或
【分析】直接根据函数的图象即可得出结论.
【详解】解:∵由函数图象可知,当或时,二次函数图象在一次函数图象的上方,
∴能使成立的x的取值范围是或.
故答案为:或.
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式,能利用数形结合求解是解答此题的关键.
15.②④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系,由抛物线与轴的交点判断与0的关系,然后根据对称轴以及抛物线与轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断,即可得到答案.
【详解】解:①抛物线开口方向向下,则,
抛物线对称轴位于轴右侧,则异号,即,
抛物线与轴交于正半轴,则,
,故①错误;
②抛物线对称轴为直线,
,即,故②正确;
③由交点的位置可得:,
,
,
,
,
,
,故③错误;
④由图象可知,当时,,
此时点在第三象限,
,
,
,故④正确;
⑤方程有两个相等的实数根,
,
,
方程为,
,
方程为有两个不相等的实数根,故⑤正确;
综上所述,正确的为②④⑤,
故答案为:②④⑤.
【点睛】本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题,会利用对称轴的范围求与的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用,是解题的关键.
16.(1)
(2)①;②
(3)的值为或
【分析】(1)先求出抛物线的顶点坐标,再利用抛物线关于原点对称的抛物线记为得出抛物线的顶点坐标,即可求得抛物线的解析式;
(2)①令得到关于的一元二次方程,解方程即可得到答案;②由题意可得,抛物线的开口向上,且顶点坐标的绝对值为,解方程即可得到的值;
(3)把分别代入得到抛物线、抛物线的解析式,把点分别代入即可求得的值.
【详解】(1)解:抛物线:,
顶点坐标为:,
抛物线关于原点对称的抛物线记为,
抛物线的顶点坐标为,且开口方向与抛物线相反,
抛物线的解析式为:,
故答案为:;
(2)解:①当时,
,
,
解得:,,
,
抛物线与轴的交点坐标为:,
故答案为:;
②由题意得,
图象的最低点到轴距离为3,
抛物线开口向上,且,
,
;
(3)解:把代入,
得:,
把代入,
得:,
若点在图象上,
即时,,
解得:(舍去),
若点在图象上,
即时,,
解得:,
综上所述,的值为或.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的图象与性质等知识,熟练掌握 的图象与性质并会综合应用是解决问题的关键.
17.(1),
(2)或
【分析】(1)由点A坐标求出抛物线解析式,从而可得点C及点B坐标,再通过待定系数法求直线解析式.
(2)由图象开口方向及点A,B横坐标,利用图象法求解.
【详解】(1)解:将代入得,
解得,
∴,
令,则,
∴点C坐标为,
∵抛物线对称轴为直线,
又∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称,
∴点B坐标为,
将,代入得
,
解得,
∴.
(2)解:由图象可得的解集为或,
∴满足不等式(x-2)2+m-kx-b>0的x的取值范围为或.
【点睛】本题考查求二次函数和一次函数解析式,根据二次函数与一次函数图象交点求不等式解集,解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.
18.(1)画图象见解析
(2)开口向上,顶点坐标,对称轴
(3)
【分析】(1)按照列表,描点,连线的步骤解答即可;
(2)根据图象即可求解;
(3)先求出与x轴的交点横坐标,再结合图象解答.
【详解】(1)列表如下
…… 0 1 ……
…… 2 2 ……
图像如下
(2)由图可知,图象开口向上,顶点坐标,对称轴是直线;
(3)解,得
,,
∴当时,x的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数图象的画法,二次函数图象的性质,以及利用函数图象解不等式,正确画出函数图象是解答本题的关键.
19.(1)当时,二次函数取得最小值
(2),
(3)二次函数的解析式为或
【分析】(1)把,代入函数解析式,求二次函数的最小值;
(2)根据当时,若在函数值的情况下,只有一个自变量的值与其对应,得到有两个相等的实数根,得出,进而即可求解;
(3)当时,写出解析式,分三种情况进行讨论即可.
【详解】(1)解:当,时,二次函数的解析式为,
当时,二次函数取得最小值;
(2)当时,二次函数的解析式为,
由题意得,有两个相等的实数根,
,
解得,,,
二次函数的解析式,;
(3)当时,二次函数解析式为,
图象开口向上,对称轴为直线,
①当,即时,
在自变量的值满足的情况下,随的增大而增大,
当时,为最小值,
,解得, 舍去, ;
②当时,即,
, 为最小值,
,解得, 舍去, 舍去;
③当,即,
在自变量的值满足的情况下,随的增大而减小,
故当时,为最小值,
.解得, 舍去,;
时,解析式为:
时,解析式为:.
综上可得,此时二次函数的解析式为或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,待定系数法求二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
20.(1),
(2)二次函数解析式为
(3)
(4)或
【分析】(1)由图象可得点坐标,根据抛物线的对称性可得点坐标;
(2)根据待定系数法求抛物线解析式即可;
(3)根据抛物线平移规律求解即可;
(4)由抛物线在直线下方时的取值范围求解即可.
【详解】(1)解:由图象可得点坐标为,
∵抛物线经过、,
∴抛物线对称轴为直线,
∴点坐标为.
(2)解:将、代入得,
,
解得:,
∴二次函数的解析式为.
(3)解:二次函数的图象向左平移2个单位后解析式为,
再将抛物线向下移动2个单位后解析式为.
(4)解:∵点坐标为,点坐标为,
∴当或时,抛物线图象在直线下方,
∴当或时,.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,求二次函数的解析式,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程及不等式的关系.
21.(1)抛物线的开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;
(2),.
【分析】(1)把一般式配成顶点式,然后根据二次函数的性质解决问题.
(2)要求抛物线与轴的交点坐标,令,然后解关于的一元二次方程即可.
【详解】(1)解:
抛物线的开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为.
(2)令,则,
解得:,.
抛物线与轴的交点坐标为,.
【点睛】本题考查二次函数的相关知识.一般式中,当时,开口向上;要求对称轴和顶点坐标,可以化成顶点式进行求解;也可以直接用公式:对称轴为直线,顶点坐标为.其中,顶点坐标是易错点,需要熟练记忆.抛物线与轴的交点坐标,只需令;当然也可能考查与轴的交点坐标,令即可.
22.(1)×;√;×
(2)
(3)
【分析】(1)根据“青一函数”的定义直接判断即可;
(2)根据题意得出关于的一元二次方程,再根据根的判别式得出关于m的不等式,即可求解;
(3)根据题意得出关于的一元二次方程,再根据根的判别式得出关于a的二次函数,利用二次函数最值求解即可.
【详解】(1)解:①令,方程无解,
∴函数图像上不存在“青竹点”,故答案为:×;
②令,
解得:,,
∴函数图像上存在“青竹点”和,故答案为:√;
③令,方程无解,
∴函数图像上不存在“青竹点”,故答案为:×;
(2)解:由题意得,
整理,得,
∵抛物线(m为常数)上存在两个不同的“青竹点”,
∴,
解得;
(3)解:由题意得
整理,得
∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”,
∴
整理,得
∴当时,a的最小值为,
∵当时,a的最小值为c,
∴
∴,
【点睛】本题属于函数背景下新定义问题,主要考查二次函数的性质,二次函数与一元二次方程的关系,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程的关系,一元二次方程根的判别式.
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