22.3 实际问题与二次函数同步练习题（含解析）

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人教版 九年级数学上册
22.3 实际问题与二次函数 同步练习题
一、单选题
1．下列三个问题中都有两个变量：①把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为30m，宽为20m，若长和宽各增加xm，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；③某长方体的体积为1000，长方体的高y（单位：cm）随底面积x（单位：）的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（ ）
A．①二次函数，②二次函数，③二次函数
B．①一次函数，②二次函数，③反比例函数
C．①二次函数，②二次函数，③一次函数
D．①反比例函数，②二次函数，③一次函数
2．如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图1，在矩形（）中，动点Q从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，到达点A后停止运动，动点P从点B出发，沿以与点Q同样的速度做匀速运动，到达点A后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积是y，其中y关于x的函数图像如图2所示，则的值是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．如图①，在正方形中，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设，，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为，则正方形的边长为（　　）
A． B． C．4 D．5
5．小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的．如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为，如果AB＝8 m，AD＝2 m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为（ ）
A．8 m B．7 m C．6 m D．5 m
6．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为( )
A．
B．池底所在抛物线的解析式为
C．池塘最深处到水面的距离为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
7．2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价 成本价）（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
8．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
9．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
10．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，有一矩形纸片，长、宽分别为厘米和厘米，现在长宽上分别剪去宽为厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积关于的函数关系式为 ．

12．如图①，在钝角三角形中，，D为边上一动点（C点除外），以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角三角形，连接．设，，若y关于x的函数图象如图②所示，则的面积为 ．

13．如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．
14．中国的新冠疫苗受到世界各国的高度认可，中国人民完全免费接种，但对国外要收取费用已知出口某国的疫苗原价是元剂，每周可出口剂，在该国恳请对其优惠销售的条件下，每剂的售价每降低元，每周可多出口剂，设出口疫苗的销售收入为元，销售价格为元剂，则与之间的函数表达式为 ．
15．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域）
三、解答题
16．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
17．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
18．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
19．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式．
20．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
21．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？
22．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式．
（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？
（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，分别求出相应的函数解析式，进行判断即可；
【详解】解：①由题意，得：，故①是一次函数；
②由题意，得：，故②是二次函数；
③由题意，得：，故①是反比例函数；
故选B．
【点睛】本题考查列函数关系式．解题的关键是正确的列出函数关系式．
2．C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．
3．C
【分析】设，分和，结合矩形的性质，表示三角形的面积，构造函数，结合图像，确定m，n的值计算即可．
【详解】解：设，
当时，，
根据图像，得当时，y取得最大值5，此时，
当时，，此时；
当时，P停止运动，
，
根据图像，当时，此时，
故，
故选：C．
【点睛】本题考查了数形结合思想，二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，一次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，则此时y取得最小值，即，即可求解．
【详解】解：如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，
根据点的对称性，，则为最小，
故，
设正方形的边长为a，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（负值已舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
5．C
【分析】根据条件易有点坐标为，点的坐标为，点的横坐标为4，将点和代入抛物线表达式可解的和的值，然后令计算点的纵坐标即为距离．
【详解】解：由题意可得：点坐标为，点的坐标为，
将点和代入抛物线表达式可得，解得
∴，
令，可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，能够根据条件得到对应点的坐标，解出抛物线表达式是解题的关键，然后在将实际问题转化为二次函数点的坐标问题．
6．C
【分析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．
【详解】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为．
选项A中，，故选项A错误；
选项B中，解析式为，故选项B错误；
选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中，
得，
解得：，
∴，
当每天利润为0元时，售价即为成本价．令，
解得：，
由题意可知38不符合条件，
∴，
∴这种口罩的成本价是10元/个；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
8．D
【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
9．C
【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解．
【详解】由可得其对称轴为：，
根据，
可知：当时，，
即有：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键．
10．B
【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．
【分析】阴影部分的长方形的的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】阴影部分的长方形的的长为，宽为，
所以面积．
【点睛】本题考查了利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
12．
【分析】由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，过点E作，交延长线于G，根据等腰三角形的性质及三角形等面积法得出，过点B作，交延长线于H，则，再由全等三角形的判定和性质得出，即可求解三角形面积．
【详解】解：由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
过点E作，交延长线于G，

∴，
解得，
∴
过点B作，交延长线于H，则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了动点问题与函数图象的结合，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
13．
【分析】设抛物线解析式为，根据题意可得，抛物线与x轴两交点坐标分别为、，代入即可求出．
【详解】解：设抛物线解析式为，
由题意可知：，抛物线与x轴两交点坐标分别为、，
把、，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求抛物线解析式，正确设出解析式和确定点的坐标是解题关键．
14．
【分析】根据利润=每件利润×销量求解．
【详解】解：由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数解析式．
15．y＝10(1+x)2
【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论．
【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，
∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，
∴y＝10（1+x）2．
故答案为：y＝10（1+x）2．
【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．
16．(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．，y是x的函数
【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可．
【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量，
即①
①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
19．y＝5000x2＋10000x＋5000．
【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可．
【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000，
∴y＝5000x2＋10000x＋5000．
【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键．
20．（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
21．见解析．
【分析】根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
【详解】依题意，得：，
此函数是二次函数.
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
22．（1）；（2）万元；（3）万元．
【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x) ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.
【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x) ；
(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%) =14.4万元；
(3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x) =36.4(万元).
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．
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