23.1 图形的旋转同步练习题（含解析）

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人教版 九年级数学上册 23.1 图形的旋转 同步练习题
一、单选题
1．下列运动属于旋转的是（ ）
A．钟表上时针的运动 B．行驶中的自行车的运动
C．进行赛跑的运动员的运动 D．羽毛在空中的运动
2．如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（　　）

A． B． C． D．
3．第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；
第二次：作点关于轴的对称点；
第三次：将点绕点逆时针旋转得到；
第四次：作点关于轴的对称点…，
按照这样的规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（ ）

A． B． C． D．
5．将下面原图中的笑脸图案绕圆心逆时针旋转后得到的图案是（ ）

A． B． C． D．
6．下列图形是旋转对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，将平行四边形绕点A顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．一副三角尺的位置如图所示，其中三角尺绕点A逆时针旋转度，使它的某一边与平行，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有 ；（填序号）
12．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个．
13．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．

14．在平面内把一个图形绕着某 沿着某个方向转动 的图形变换叫做旋转．这个点O叫做 ，转动的角叫做 ．因此，图形的旋转是由 ， 和 决定的．
15．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm．
三、解答题
16．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．

(1)将绕点逆时针旋转得到，画出．
(2)若由绕着点P旋转得到的，在图中标出点P，写出点P的坐标为　　．
17．如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，．

(1)直接写出D是 三角形．
(2)求的度数；
(3)当时，探究线段的数量关系；
(4)请你探究：当= 　　时是等腰三角形？
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．

(1)平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
(2)将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，点的坐标为______，并判断的形状；
(3)在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为_______．
19．小亮在一次数学活动中，进行了如下的探究：
如图，在矩形中，，，以点B为中心将矩形旋转任意角度，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为E、F、G．

(1)如图①，当点E落在边上时，求线段的长；
(2)如图②，当点E落在线段上时，与交于点H，求线段的长；
(3)如图③，若矩形的对角线、相交于点P，连接、，若面积为S，请直接写出S的取值范围 ．
20．如图，正方形的边长为，射线是外角的平分线，点在边上运动（不与点、重合），点在射线上，且，与相交于点，连结、、．

(1)求证：；
(2)求的周长（用含的代数式表示）；
(3)试探索：点在边上运动至什么位置时，的面积最大．
21．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
，
，点、、共线．
根据 ，易证 ，得．
(2)引申
如图，四边形中，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．
(3)联想拓展
如图，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
22．（1）阅读理解：如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点的距离分别为，求的大小．

思路点拨：考虑到不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，此时，这样，就可以利用全等三角形的知识，并结合已知条件，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出________；
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的方法，解答下面问题：
如图2，在中，，，E，F为上的点且，，，求的长度；
（3）能力提升：如图3，在中，，，，点O为内一点，连接，且，则________(直接写出答案)．
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参考答案：
1．A
【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案．
【详解】解：A、钟表上时针的运动，属于旋转，故此选项符合题意；
B、行驶中的自行车的运动，也有平移，不属于旋转，故此选项不合题意；
C、进行赛跑的运动员的运动，也有平移，不属于旋转，故此选项不合题意；
D、羽毛在空中的运动，也有平移，不属于旋转，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键．
2．C
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】∵，小刚的位置从A点运动到了点，
∴，
∴，，
∴，
∴秋千旋转的角度为
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．B
【分析】先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．
【详解】由题意可知，、、、、，
∴每4个点的坐标为一周期循环，
∵余1，
∴点的坐标与点的坐标一致，为，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．
4．C
【分析】利用旋转的性质和等边对等角的性质求解，即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
5．D
【分析】根据旋转的性质，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：由旋转性质， 绕圆心逆时针旋转后得到的图案是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的定义与性质，数形结合，熟记旋转定义与性质是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据旋转对称图形的定义可判断A、B、D都不是旋转对称图形，C图形是旋转对称图形．
【详解】解：A、图形只能旋转360°后能与原图形重合，所以A图形不是旋转对称图形；
B、图形只能旋转360°后能与原图形重合，所以B图形不是旋转对称图形；
C、图形绕旋转中心旋转120°后能与原图形重合，所以C图形是旋转对称图形．
D、图形分布不均，故此选项不是旋转对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
7．B
【分析】连接，过点作，垂足为，证明，则．在中，求得，，则．在中，求得．得到点的坐标为．由题意可知每旋转4次为一个循环，则第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同，求出第三次旋转结束时点的坐标即可．
【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，

∵，
∴．
∴．
在中，，
∴，．
∴．
在中，，
∴．
∴点的坐标为．
∵每次旋转，，
∴每旋转4次为一个循环．
∵，
∴第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同．
如图，点D即为第3次旋转结束时的位置，过点D作于点E，则，,，
∴，
∴点D的坐标是，
∴第2023次旋转结束时，点的坐标为，
故选：B．
【点睛】此题考查了探索求点坐标的变化规律、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，找到点的变化规律是解题的关键．
8．A
【分析】先判断三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，可得旋转3次为一个循环．再分别求解第次，第次，第次旋转后的坐标，由规律得到第次旋转后与第1次旋转后的位置相同即可解答．
【详解】解： ，
∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴旋转3次为一个循环．
第1次旋转，如图，过作轴于
由旋转的性质可得：

点B所在位置的坐标为；
第2次旋转，如图，过作轴于 此时与轴重合，

同理可得：
点B所在位置的坐标为；
第3次旋转，如图，三角形回到原位置，

所以点B所在位置的坐标为；
……
∵，
∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同，
所以点B所在位置的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是与旋转相关的规律探究、含的直角三角形的性质、勾股定理的应用、坐标与图形等知识点，发现每旋转3次为一个循环是解题的关键．
9．C
【分析】根据平行四边形的性质得出点的坐标，进而利用旋转的性质得出规律解答即可．
【详解】解：平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，
∴，

当每次旋转时，第一次时，；
第二次时，；
第三次时，；
第四次时，；
可知旋转4次是一个循环，
∵，
∴第2023次旋转结束时与平行四边形旋转第三次的位置一样，
∴点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后平行四边形的位置是解题的关键．
10．A
【分析】根据和旋转的性质得，即可得．
【详解】解：如图所示，三角尺绕点A逆时针时，边最先与平行，此时，有最小值，

∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
11．（2），（3），（4）
【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的．
故(2)、(3)、(4)正确，
故答案为：(2)、(3)、(4) ．
【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质．
12．2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
13．
【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键．
14． 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角
【分析】根据旋转的定义解答即可.
【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的．
故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角
【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键.
15．16
【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论．
【详解】解：延长AT交BC于点P，
∵AP⊥BC，
∴ BC AP=12，
∴×6×AP=12，
∴AP=4（cm），
由题意，AT=PT=2（cm），
∴BE=CD=PT=2（cm），
∵DE=BC=6cm，
∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
16．(1)见解析
(2)画图见解析，
【分析】（1）分别确定D，E，F绕E点逆时针旋转后的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）作，的垂直平分线交于点P，则点P即为所求；再根据其位置可得其坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）作，的垂直平分线交于点P，则点P即为所求；

∴．
【点睛】本题考查的是旋转的作图，确定旋转中心，坐标与图形，线段的垂直平分线的判定，熟练的利用旋转的性质进行画图是解本题的关键．
17．(1)等边三角形
(2)
(3)
(4)或或
【分析】(1)由旋转的性质可以证明，可以得到三角形为等边三角形；
(2)先根据周角的定义表示的度数，由三角形全等表示的度数，最后由三角形内角和可得结论；
(3)分三种情况：①时；②时；③时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．
【详解】（1）解：由旋转可知：，
∴是等边三角形，
故答案为：等边．
（2）解：是等边三角形，
，
，，
，
由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在中，；
（3）证明：由（2）知：，
，
，
即是直角三角形；
∴,
∴
（4）分三种情况：
①当时，
∵，，
∴，
∴；
②当时，.
∵，，
∴，
∴.
∴；
③当时，.
∵
∴，
综上所述，当为，时，是等腰三角形，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质的运用是解题的关键．
18．(1)图见解析，
(2)图见解析，，是直角三角形
(3)图见解析，
【分析】（1）根据平移的性质，将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，即可求解；
（2）根据旋转的性质，得到点的坐标，进而根据勾股定理以及勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形
（3）根据轴对称的性质求线段和的最值即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，，
故答案为：．

（2）解：如图所示，，是直角三角形；

∵，，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，
∵，则
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，当时，，
∴；
故答案为：．

【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平移作图，勾股定理与勾股定理的逆定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握平移、旋转、轴对称的性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转性质知，由矩形性质知，再在中根据勾股定理可得；
（2）利用旋转的性质可得：，，由“”可证，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股定理可求的值；
（3）由勾股定理可求的值，可得，当点G在线段上时，面积有最小值，当点G在线段延长线上时，面积有最大值．
【详解】（1）解：由旋转的性质知，
∵四边形是矩形，
∴，∠，，
∴；
∴；
（2）解：连接，

由旋转知：，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵在矩形中，有，
∴，
∴，
∴，
设，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，即；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
如图，始终在以B为圆心，为半径的圆上，的底是定值为4，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值，


∴当点G在线段上时，此时最短，则面积有最小值；
当点G在线段延长线上时，此时最长，则面积有最大值；
分情况讨论：
当点G在线段上时，面积有最小值，
∴；
当点G在线段延长线上时，面积有最大值．
∴．
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
20．(1)见解析
(2)
(3)点为边中点
【分析】（1）过点作于，则，证出是等腰直角三角形，得出，，证出，证明≌，即可得出；
（2）证出，得出是等腰直角三角形，，把绕点逆时针旋转至位置，则，，，得出，进而得出，证得≌，得到，据此解答即可；
（3）设，由（1）得，则的面积，由平方数的非负性质即可得出答案．
【详解】（1）（1）证明：过点作于，如图所示：

则，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
（2）解：≌，
，
在中，，
，
，
由（1）知，，
是等腰直角三角形，，
把绕点逆时针旋转至位置，如图所示：
则E、B、N三点共线，

则，，，
，
，
≌，
，
的周长；
（3）解：设，
由（1）得：，
则的面积，
当，即点在边中点时，的面积最大，最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．(1)，
(2)
(3)，见解析
【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，再证明≌进而得到，即可得；
时，，与的证法类同；
根据绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知≌得到，，，，根据中的，得到，所以，证≌，利用得到；
【详解】（1）证明：，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
即：．
（2）解：延长至点G，连接，如图所示，

时，；
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，，
，，
，
，
当，点、、共线时，
在和中
，
≌，
，
∵，
即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．
把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，

，，
在中，，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明≌此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
22．（1）；（2）13；（3）
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答．
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可解决问题．
（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是，求出，然后求出四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，，
∵，
∴
∴为直角三角形，且，
∴；
故答案为：150°；
（2）如图2，把绕点A逆时针旋转90°得到，

由旋转的性质得，，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
又∵，，
∴，
解得：；
（3）如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，

∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，
∴如图所示；
，
∵绕点B顺时针方向旋转60°，得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴四点共线，
在中，，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
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