23.2.1 中心对称同步练习题（含解析）

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人教版 九年级数学上册 23.2.1 中心对称 同步练习题
一、单选题
1．经过下列变换，不能由图①所示的基本图形得到图②的是（ ）

A．旋转 B．中心对称和轴对称 C．平移和轴对称 D．中心对称
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（ ）

A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
3．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）

嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
4．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
6．如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　）
A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定
8．如图，已知图形和图形中关于点A中心对称，都是线段，是一段圆弧．嘉琪对其进行测量后得到以下四个结论，其中一定错误的是（　　）

A． B．图形的内角和是 C． D．
9．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
10．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
二、填空题
11．过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个 的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．
14．如图，在中，，，的面积为，动点从点出发，以个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连接设运动时间为秒．

（1）则和之间的距离为 ；
（2）当平分的面积时，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为，，现平移直线l：，使平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
三、解答题
16．（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形.

（2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．

17．如图，已知和点P，求作：，使与关于点P对称．

18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请回答下列问题：
(1)以O为对称中心，画出与成中心对称的；
(2)在第一象限内存在点，以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，画出该平行四边形，并求出，之间的距离．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，且与关于原点成中心对称．

(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)是的边上一点，平移后点的对应点为，请画出平移后的；
(3)点在第三象限内，以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为______．
20．如图，在平面直角坐标系中，．

(1)若A，B关于点M成中心对称，在图中画出点M（描黑并标注字母，下同）；
(2)若点A绕点N逆时针旋转90°得到点B，在图中画出点N；
(3)已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D所有可能的坐标．
21．如图，已知，点A与点关于点O成中心对称，试画出对称中心点O和的对称（此题无需尺规作图，无需写作法，要求精确，需要写结论）．

22．一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．

(1)如图1，和是外的两个等边三角形，用旋转的知识说明和成中心对称．
(2)如图2，是一段不规则曲线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与，分别相交于点，，且．
（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
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参考答案：
1．D
【分析】根据旋转，中心对称，轴对称和平移的性质求解即可．
【详解】A中，经过旋转能由基本图形得到题图②，故该选项不符合题意；
B中，经过中心对称和轴对称能由基本图形得到题图②，故该选项不符合题意；
C中，经过平移和轴对称能由基本图形得到题图②，故该选项不符合题意；
D中，只经过中心对称不能由基本图形得到题图②，故该选项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了旋转，中心对称，轴对称和平移的性质，解题的关键是熟练掌握旋转，中心对称，轴对称和平移的性质．旋转的特性∶不改变图形的形状和大小；经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．对应角相等，对应线段也相等．平移的特性∶平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等．轴对称图形的特性∶关于某直线对称的两个图形是全等的；图形的对应点连线段被同一条直线垂直平分；对应线段或延长线与对称轴交于一点．
2．D
【分析】先根据点坐标推出正方形中的点坐标，再根据正方形的性质，求出对角线交点坐标，也就是对称中心的坐标，最后由正方形的平移转化到正方形的对称中心的平移即可就出平移过程．
【详解】∵四边形为正方形，已知在轴上，且点的坐标为，
∴根据正方形的性质可得正方形的边长，
∴点坐标为，点坐标为，
∵正方形的对称中心为对角线的交点，正方形对角线相互平分，
∴正方形的对称中心的坐标为的中点坐标，
∴对称中心的坐标为，
∵将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，
∴正方形的平移过程即为对称中心的平移过程，
∵正方形的对称中心的坐标为，平移后的正方形的对称中心为坐标原点，
∴可得出正方形的平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质,点的平移等知识点，解题的关键是求出原来正方形的对称中心，结合对称中心点的平移方式得到正方形的平移方式．
3．C
【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．
【详解】如图，取格点，连接，，取格点E，F．
∵，
∴，
∴，
∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合．
同理可证：点B与点关于点O对称，
∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，
故嘉嘉说法正确；
由中心对称的性质得，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，
故淇淇说法正确．
故选C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
5．D
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【详解】解：如图对称中心是PQ的中点，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键．
6．B
【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得．
【详解】解：由图可知，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故选：B．
【点睛】本题考查了求对称中心，正确找出两个三角形旋转后的对应点是解题关键．
7．C
【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可．
【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C
【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键．
8．B
【分析】根据中心对称图形的性质和平行线的判定分别判断即可．
【详解】解：A、可以等于，故不符合题意；
B、图形不是四边形，故内角和不是，故符合题意；
C、可以平行于，故不符合题意；
D、∵图形和图形中关于点A中心对称，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质和平行线的判定，熟练掌握中心对称图形的性质和平行线的判定是关键．
9．C
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．
10．D
【分析】根据中心对称图形的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴点A与是一组对称点，，，故A，B，C都不合题意．
∵与不是对应角，
∴与不一定相等，不成立，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，熟练掌握成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等，是解题的关键．
11．全等
【分析】根据对称中心的性质：过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心．
【详解】解：过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心．
故答案为：全等．
【点睛】本题主要考查对称中心的性质，解题的关键是掌握过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心．
12．（0，0）
【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，由题意，，，，
发现3次一个循环，
∵，
∴的坐标与的坐标相同，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律．
13．（1，1）
【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解．
【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)．
故答案为(1，1)．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可；
14． 或或
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式即可求解；
（2）由平分的面积可得是中心对称图形，所以，分三种情况求解．
【详解】（1）设和之间的距离为，
，的面积为，
，
，
和之间的距离为．
故答案为：．
（2）平分的面积，是中心对称图形，
经过的中心，
，
当时，
，，
，
；
当时，
，，
，
；
当时，
，，
，
．
当平分的面积时，或或．
故答案为：或或
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称，动点问题，关键是由平行四边形的性质，中心对称的性质得到学会分类讨论是解题的关键．
15．
【分析】如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再根据一次函数平移的特点结合待定系数法可求平移后直线的函数解析式．
【详解】解：如图，∵点A，B的坐标分别为，，
∴C的坐标为．
∵平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，
∴平移后的直线经过点C．
设平移后的直线的函数解析式为，依题意有，
∴，
解得，
∴平移后的直线的函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，一次函数图象的平移．熟知过中心对称图形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）作直线，交于点D，则点D为点A的对称点，同理可作出点B的对称点E，点C的对称点F，依次连接点D，E，F，则为所求；
（2）连接，，相交于点O，则点O为所求．
【详解】（1）如图，为所求．

（2）如图，点O为所求．

【点睛】
本题考查作中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
17．见解析
【分析】连接，在的延长线上取；连接，在的延长线上取；连接，在的延长线上取；连接，那么即为所求．
【详解】解：如图：即为所求．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
、
18．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）在第一象限取格点D，使且即可；设，之间的距离为h，利用割补法可求得平行四边形的面积10，由勾股定理得，即可得，求出h的值即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：如图，平行四边形即为所求．
设，之间的距离为，
∵，，
∴，
解得，
，之间的距离为．
【点睛】本题考查中心对称、平移的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据图形成中心对称的定义即可求解；
（2）根据图形平移的规律即可求解；
（3）根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：与关于原点成中心对称，
∴，，，描点，连线，如图所示，

∴即为所求图形．
（2）解：平移后点的对应点为，
∴图形平移的方式是：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图所示，

∴即为所求图形．
（3）解：如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线在第三象限交于点，

∴四边形是平行四边形，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握平移的性质，中心对称的作图，平行四边形的性质是解题的关键．
20．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）根据中心对称，得到为的中点，作图即可；
（2）根据旋转的性质，进行作图即可；
（3）根据平行四边形的性质，画出平行四边形，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；

（2）如图，点即为所求；

由图可知：，
∴，
∴，
∴点即为所求；
（3）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，共有三种情况，

由图可知：点坐标为：．
【点睛】本题考查中心对称，旋转对称，平行四边形．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
21．见解析
【分析】连接，取中点O即为对称中心，延长至，使得，延长至，使得，则为所求作．
【详解】解：如图，点O和即为所求作．

【点睛】本题考查了作图—旋转变换，解题关键是找出对称中心，掌握对应角都等于旋转角，对应点到对称中心的距离相等．
22．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）分别证明点的对称点是点，点的对称点是点，点与点关于点成中心对称即可；
（2）1．连接，并延长到点，使得；以点为圆心，的半径为半径作圆与相交于点；作直线交于点，则点、为所求作的点．
【详解】（1）解：令、相交于点，连接、，

∵四边形是平行四边形，
∴，四边形是中心对称图形，对称中心是点，点的对称点是点，点的对称点是点，，，
∴，
∵和是外的两个等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点绕点旋转后与点重合，即点与点关于点成中心对称，
∴和成中心对称；
（2）解∶如图，点、为所求的点，．

理由如下：
连接、，分别过点、作 ，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴

【点睛】本题主要考查了中心对称，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
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