24.1.1 圆同步练习题（含解析）
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人教版 数学九年级上册 24.1.1 圆 同步练习题
一、单选题
1．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
只有甲是扇形 B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
2．我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
4．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，点为坐标平面内任意满足的点，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．2
9．设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：
其中合理的设计方案有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（ ）
A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小
二、填空题
11．（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
12．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
13．如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ．
14．定义：分别为两个图形上任意一点，当线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；当线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：
如图，在平面直角坐标系中，点．
（1）线段与线段的“近距离”为 ．
（2）的圆心在轴正半轴上，半径为1，若与相切于点，则与线段的“近距离”为 ，此时与四边形的“远距离”为 ．
15．如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是 ．
三、解答题
16．如图，一只狗被拴在一个边长为 米的等边三角形建筑物的一角 处，绳长为 米，请用图形表示出狗能到达的区域．
17．如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
18．如图，将正方形的边绕点顺时针旋转至，旋转角为，点是射线上一个动点，线段和线段关于所在的直线对称，连接所在的直线与所在的直线于点，连接．
(1)如图1，当时，___________；
(2)如图2，当时，试猜想和的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当时连接是的中点．若，求的最小值．
19．在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．
(1)如图1，几秒后，的长度等于
(2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的
(3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
20．中，，D为上一点．
(1)如图1，若，，求．
(2)如图2，点E为外一点，且满足，连接，点F为上一点，连接交于点M，若，求证：．
(3)如图3，当， 且D为中点时，E为射线上一动点，连接，以为边作等边，连接．交于点M，当满足时，N为上一点，且，作交于点H，将绕点C顺时针旋转得，N、H的对应点分别为，直接写出整个旋转过程中面积的最小值．
21．如图，已知矩形中，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点是点，设．
(1)求当，，三点在同一直线上时对应的的值．
(2)当点在矩形内部时，若是以为腰的等腰三角形，求的值．
22．在菱形中，，点O为对角线的中点，P为线段上的一个动点（点P不与点O重合），分别过点A，C向直线作垂线和，垂足分别为点E，F．
(1)【问题解决】
如图①，当点P在线段上，垂足F与的中点重合，点E与点B重合时，求证：；
(2)【问题探究】
如图②，当点P在线段上，与还相等吗？如果相等，请证明．如果不相等，请说明理由；
(3)【拓展延伸】
当点P在线段上运动，猜想线段之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想．
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参考答案：
1．B
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，
只有乙是扇形，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
2．A
【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，C为的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
3．A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
5．D
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
6．D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
7．A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
8．B
【分析】作点关于轴的对称点为，连接，则，当取最大值时，的值最大，点在以点A为圆心，1为半径长的圆上，过点A时最长，此时，则．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点为，连接，
∵为的中点，点为线段的中点，
∴，
∴当取最大值时，的值最大，
点在以点A为圆心，1为半径长的圆上，
连接并延长交于点C，当点P在点C处时，最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
∴，
即的最大值为3，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式，中位线定理的应用，解题的关键是作出辅助线，根据中位线定理，将求的最大值转换为求的最大值．
9．D
【分析】分别计算出3个图形的周长进行判断即可．
【详解】解：图1的周长为：，所以这个设计是合理的；
图2的周长为：，所以这个设计是合理的；
图3的周长为：，所以这个设计是合理的；
∴合理的设计方案有3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的周长计算，正确掌握计算方法是解答本题的关键．
10．A
【分析】首先求得小丽用圆规画的圆的周长，再与相比较，即可判定．
【详解】解：小丽用圆规画的圆的半径为，
小丽用圆规画的圆的周长为：，
小丽与小杰所得的圆一样大，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握和运用圆的周长公式是解决本题的关键．
11． 2； , ； ； ； ．
【分析】（1）根据弧的定义求解可得；
（2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念．
12．三/3
【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论．
【详解】解：根据弦的定义可得：
图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键．
13．
【分析】由“”可证≌，可得，可证点，点，点，点四点共圆，由等边三角形的性质可求的长，由点在上运动，则是直径时最大，即可求解．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
点，点，点，点四点共圆，
如图，过点，点，点，点四点圆为，连接，，，过点作于，
是等边三角形，，
点是的内心，也是的外心，
，，
，，
，
点在上运动，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14． 4 2或4 6或
【分析】（1）由点的坐标画出图形，由“近距离”和“远距离”的定义可求解；
（2）画出图形，分在两侧相切的情况，根据“近距离”，“远距离”的定义即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，
线段与线段的“近距离”为，
故答案为：4；
（2）由图可知，在左侧与相切时，它与线段的“近距离”是,
与四边形的“远距离”是；
在右侧与相切时，它与线段的“近距离”是，与四边形的“远距离”是．
故答案为：2或4，6或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，“近距离”和远距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
15．
【分析】根据题意得阴影部分的面积：，即可得大圆的面积，再根据圆面积的计算公式即可得．
【详解】解：∵阴影面积是小圆面积的，小圆的半径是10，
∴阴影部分的面积：，
∵阴影面积是大面积的，
∴大圆的面积：，
则大圆半径的平方：，
∴大圆的半径：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式．
16．见解析
【分析】根据题意和题目中的数据，可以画出狗能到达的区域．
【详解】如图，白色部分就是狗能到达的区域，阴影部分不能到达
【点睛】本题考查等边三角形、圆、复杂作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形．
17．见解析
【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论．
【详解】证明：连接，，
∵，AB的中点为O，
∴，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
18．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转性质及对称性质可知，求出，，借助三角形外角性质列式求解即可得到答案；
（2）过点作于点，过点作的延长线于点，如图所示，由（1）知，得到，再根据两个三角形全等的判定证得，从而由全等性质得到，即可得出，从而；
（3）根据动点最值问题的求解方法，由“瓜豆原理”判断出点的运动轨迹为以正方形对角线交点为圆心，为半径的圆弧上，如图所示，由动点最值问题的“点圆模型”可以确定的最小值为半径．
【详解】（1）解：将正方形的边绕点顺时针旋转至，旋转角为，
，
，
，
正方形中，点是射线上一个动点，线段和线段关于所在的直线对称，
，则，
是的一个外角，
，即，解得，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：
过点作于点，过点作的延长线于点，如图所示：
由（1）知，同理可得，
在中，，，则，即是等腰直角三角形，
，
在正方形中，，，则，
，
，
在和中，
，
由全等性质得到，
，
，
在等腰中，，
将正方形的边绕点顺时针旋转至，旋转角为，
，
由等腰三角形“三线合一”可得，
；
（3）解：连接交于点，
线段和线段关于所在的直线对称，是的中点，根据“瓜豆原理”：动是由于动，为主动点、为从动点，且在运动过程中满足①；②，
当点在以为圆心，为半径的圆弧上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示：
在正方形中，，则，即，
的，
根据动点最值问题的解法，由动点最值问题的“点圆模型”可以确定的最小值为．
【点睛】本题考查几何综合，知识点多，难度较大，涉及旋转性质、对称性质、正方形性质、三角形外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、瓜豆原理、点圆模型等知识，熟练掌握相关判定与性质，掌握相关问题的解法是解决问题的关键．
19．(1)后的长度等于
(2)1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的
(3)
【分析】（1）根据题意可得，则，由勾股定理可得，进行计算即可得到答案；
（2）表示出，计算出，由的面积等于四边形面积的，可得，进行计算即可得到答案；
（3）当时，如图，与四边形有两个公共点，如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
，
，
，
解得：或（舍去），
后的长度等于；
（2）解：根据题意可得：，
，，
，，
，
的面积等于四边形面积的，
，
解得：或，
1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的；
（3）解：当时，如图，与四边形有两个公共点，
，
如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，
，
根据题意可得：，
，，
，，
，，
，
解得：（舍）或，
当时，与四边形的边有三个公共点，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用、圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20．(1)6
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先由等边对等角得到，进而利用三角形内角和定理求出，再求出得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出，则；
（2）如图所示，过点A作交延长线于T，连接，由平行线的性质得到，，先证明，，进而可证明，从而推出，则四边形是平行四边形，即可证明；
（3）如图所示，过点C作于T交于Q，在上取一点P使得，连接，先证明是等边三角形，从而得到，则，即可证明是等边三角形，进一步证明，推出，则三点共线，且，则，由等边对等角得到，进而求出，则是等腰直角三角形；求出，则；过点M作交于K，设，可得；证明，得到，由此可得，解得，则，即可推出N为的中点，如图所示，取中点W，连接，则为的中位线，由平行线的唯一性可知与重合，即点W与点H重合，则；根据题意可得点在以C为圆心，半径为的圆上运动，则当三线共线时，有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点A作交延长线于T，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于T交于Q，在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，
∴三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
过点M作交于K，设，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴N为的中点，
如图所示，取中点W，连接，
∴为的中位线，
∴，
又∵，
∴由平行线的唯一性可知与重合，即点W与点H重合，
∴；
由旋转的性质，
∴点在以C为圆心，半径为的圆上运动，
设点到的距离为h，
∴，
∴当h最小时，有最小值，
故当三线共线时，有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定等等，确定点F的运动轨迹以及点的运动轨迹是解题的关键．
21．(1)
(2)或或
【分析】（1）当，，三点在同一直线上时，即点落在上，分别用含x的式子表示出，和，然后利用勾股定理求出x即可；
（2）分两种情况: ①根据题意作图，当时，设，则，建立如图所示平面直角坐标系，求出直线：，由勾股定理得求出，求出中点坐标，代入上，即可求解；②根据题意作图，如图，当时，设，则，建立如图所示平面直角坐标系，同样得出直线：，为等腰三角形，过作的垂线交于，及交圆于，根据为等腰三角形，求出直线：，联立：，最终求出，再分别代入中，求解即可．
【详解】（1）解：连接，∵在矩形中，，
，
当，，三点在同一直线上时，即点落在上，
∵，
∴，，，，
，
，
，
；
（2）解：①根据题意作图，如图，当时，
设，则，建立如图所示平面直角坐标系，
设直线：
将代入，得，
解得：，
直线：，
，
为等腰三角形，过作的垂线交于，
，
由勾股定理得：，
，
，
，即，
根据轴对称知到直线：上，
，
解得：，
即；
②根据题意作图，如图，当时，
设，则，建立如图所示平面直角坐标系，
设直线：
将代入，得，
解得：，
直线：，
，
为等腰三角形，过作的垂线交于，及交圆于，
为等腰三角形，
，
，
，
设直线：，
，
解得：，
直线：，
联立：，
解得：，
，
，
所以与的中点坐标分别为：，再分别代入中，
解得：或，
或，
综上所述：是以为腰的等腰三角形，为或或．
【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质，圆，一元二次方程求解，一次函数，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)当点P在线段上，．证明见解析
(3)当点P在线段上运动时，线段之间的数量关系为或．
【分析】（1）先根据所对的直角边是斜边的一半以及线段中点的定义即可解答；
（2）如图②，延长交于点G，先证明可得，即，再根据直角三角形中线的性质可得，即可证明结论；
（3）分当点P在线段的延长线上和上两种情况，分别延长交于点G，取中点M，连接．再证三角形全等、四点共圆、等边三角形的判定与性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图①，在菱形中，，
∵点O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
∴．
（2）解：，证明见解析；
证明： 如图②，延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3）解：当点P在线段上运动时，线段之间的数量关系为或．证明如下：
①如图③：当点P在线段的延长线上时，延长交于点G，取中点M，连接．
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A，E，O，B四点共圆，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
②：如图④，点P在线段上时，延长交于点G，取中点M，连接．
同理①得，
∴，
同理①得点C，F，O，B四点共圆，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵．
∴；
综上所述，当点P在线段上运动时，线段之间的数量关系为或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的的判定与性质、四点共圆的应用等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
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一、单选题
1．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
只有甲是扇形 B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
2．我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
4．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，点为坐标平面内任意满足的点，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．2
9．设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：
其中合理的设计方案有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（ ）
A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小
二、填空题
11．（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
12．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
13．如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ．
14．定义：分别为两个图形上任意一点，当线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；当线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：
如图，在平面直角坐标系中，点．
（1）线段与线段的“近距离”为 ．
（2）的圆心在轴正半轴上，半径为1，若与相切于点，则与线段的“近距离”为 ，此时与四边形的“远距离”为 ．
15．如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是 ．
三、解答题
16．如图，一只狗被拴在一个边长为 米的等边三角形建筑物的一角 处，绳长为 米，请用图形表示出狗能到达的区域．
17．如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
18．如图，将正方形的边绕点顺时针旋转至，旋转角为，点是射线上一个动点，线段和线段关于所在的直线对称，连接所在的直线与所在的直线于点，连接．
(1)如图1，当时，___________；
(2)如图2，当时，试猜想和的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当时连接是的中点．若，求的最小值．
19．在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．
(1)如图1，几秒后，的长度等于
(2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的
(3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
20．中，，D为上一点．
(1)如图1，若，，求．
(2)如图2，点E为外一点，且满足，连接，点F为上一点，连接交于点M，若，求证：．
(3)如图3，当， 且D为中点时，E为射线上一动点，连接，以为边作等边，连接．交于点M，当满足时，N为上一点，且，作交于点H，将绕点C顺时针旋转得，N、H的对应点分别为，直接写出整个旋转过程中面积的最小值．
21．如图，已知矩形中，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点是点，设．
(1)求当，，三点在同一直线上时对应的的值．
(2)当点在矩形内部时，若是以为腰的等腰三角形，求的值．
22．在菱形中，，点O为对角线的中点，P为线段上的一个动点（点P不与点O重合），分别过点A，C向直线作垂线和，垂足分别为点E，F．
(1)【问题解决】
如图①，当点P在线段上，垂足F与的中点重合，点E与点B重合时，求证：；
(2)【问题探究】
如图②，当点P在线段上，与还相等吗？如果相等，请证明．如果不相等，请说明理由；
(3)【拓展延伸】
当点P在线段上运动，猜想线段之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想．
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参考答案：
1．B
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，
只有乙是扇形，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
2．A
【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，C为的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
3．A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
5．D
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
6．D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
7．A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
8．B
【分析】作点关于轴的对称点为，连接，则，当取最大值时，的值最大，点在以点A为圆心，1为半径长的圆上，过点A时最长，此时，则．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点为，连接，
∵为的中点，点为线段的中点，
∴，
∴当取最大值时，的值最大，
点在以点A为圆心，1为半径长的圆上，
连接并延长交于点C，当点P在点C处时，最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
∴，
即的最大值为3，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式，中位线定理的应用，解题的关键是作出辅助线，根据中位线定理，将求的最大值转换为求的最大值．
9．D
【分析】分别计算出3个图形的周长进行判断即可．
【详解】解：图1的周长为：，所以这个设计是合理的；
图2的周长为：，所以这个设计是合理的；
图3的周长为：，所以这个设计是合理的；
∴合理的设计方案有3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的周长计算，正确掌握计算方法是解答本题的关键．
10．A
【分析】首先求得小丽用圆规画的圆的周长，再与相比较，即可判定．
【详解】解：小丽用圆规画的圆的半径为，
小丽用圆规画的圆的周长为：，
小丽与小杰所得的圆一样大，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握和运用圆的周长公式是解决本题的关键．
11． 2； , ； ； ； ．
【分析】（1）根据弧的定义求解可得；
（2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念．
12．三/3
【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论．
【详解】解：根据弦的定义可得：
图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键．
13．
【分析】由“”可证≌，可得，可证点，点，点，点四点共圆，由等边三角形的性质可求的长，由点在上运动，则是直径时最大，即可求解．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
点，点，点，点四点共圆，
如图，过点，点，点，点四点圆为，连接，，，过点作于，
是等边三角形，，
点是的内心，也是的外心，
，，
，，
，
点在上运动，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14． 4 2或4 6或
【分析】（1）由点的坐标画出图形，由“近距离”和“远距离”的定义可求解；
（2）画出图形，分在两侧相切的情况，根据“近距离”，“远距离”的定义即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，
线段与线段的“近距离”为，
故答案为：4；
（2）由图可知，在左侧与相切时，它与线段的“近距离”是,
与四边形的“远距离”是；
在右侧与相切时，它与线段的“近距离”是，与四边形的“远距离”是．
故答案为：2或4，6或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，“近距离”和远距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
15．
【分析】根据题意得阴影部分的面积：，即可得大圆的面积，再根据圆面积的计算公式即可得．
【详解】解：∵阴影面积是小圆面积的，小圆的半径是10，
∴阴影部分的面积：，
∵阴影面积是大面积的，
∴大圆的面积：，
则大圆半径的平方：，
∴大圆的半径：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式．
16．见解析
【分析】根据题意和题目中的数据，可以画出狗能到达的区域．
【详解】如图，白色部分就是狗能到达的区域，阴影部分不能到达
【点睛】本题考查等边三角形、圆、复杂作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形．
17．见解析
【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论．
【详解】证明：连接，，
∵，AB的中点为O，
∴，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
18．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转性质及对称性质可知，求出，，借助三角形外角性质列式求解即可得到答案；
（2）过点作于点，过点作的延长线于点，如图所示，由（1）知，得到，再根据两个三角形全等的判定证得，从而由全等性质得到，即可得出，从而；
（3）根据动点最值问题的求解方法，由“瓜豆原理”判断出点的运动轨迹为以正方形对角线交点为圆心，为半径的圆弧上，如图所示，由动点最值问题的“点圆模型”可以确定的最小值为半径．
【详解】（1）解：将正方形的边绕点顺时针旋转至，旋转角为，
，
，
，
正方形中，点是射线上一个动点，线段和线段关于所在的直线对称，
，则，
是的一个外角，
，即，解得，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：
过点作于点，过点作的延长线于点，如图所示：
由（1）知，同理可得，
在中，，，则，即是等腰直角三角形，
，
在正方形中，，，则，
，
，
在和中，
，
由全等性质得到，
，
，
在等腰中，，
将正方形的边绕点顺时针旋转至，旋转角为，
，
由等腰三角形“三线合一”可得，
；
（3）解：连接交于点，
线段和线段关于所在的直线对称，是的中点，根据“瓜豆原理”：动是由于动，为主动点、为从动点，且在运动过程中满足①；②，
当点在以为圆心，为半径的圆弧上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示：
在正方形中，，则，即，
的，
根据动点最值问题的解法，由动点最值问题的“点圆模型”可以确定的最小值为．
【点睛】本题考查几何综合，知识点多，难度较大，涉及旋转性质、对称性质、正方形性质、三角形外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、瓜豆原理、点圆模型等知识，熟练掌握相关判定与性质，掌握相关问题的解法是解决问题的关键．
19．(1)后的长度等于
(2)1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的
(3)
【分析】（1）根据题意可得，则，由勾股定理可得，进行计算即可得到答案；
（2）表示出，计算出，由的面积等于四边形面积的，可得，进行计算即可得到答案；
（3）当时，如图，与四边形有两个公共点，如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
，
，
，
解得：或（舍去），
后的长度等于；
（2）解：根据题意可得：，
，，
，，
，
的面积等于四边形面积的，
，
解得：或，
1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的；
（3）解：当时，如图，与四边形有两个公共点，
，
如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，
，
根据题意可得：，
，，
，，
，，
，
解得：（舍）或，
当时，与四边形的边有三个公共点，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用、圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20．(1)6
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先由等边对等角得到，进而利用三角形内角和定理求出，再求出得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出，则；
（2）如图所示，过点A作交延长线于T，连接，由平行线的性质得到，，先证明，，进而可证明，从而推出，则四边形是平行四边形，即可证明；
（3）如图所示，过点C作于T交于Q，在上取一点P使得，连接，先证明是等边三角形，从而得到，则，即可证明是等边三角形，进一步证明，推出，则三点共线，且，则，由等边对等角得到，进而求出，则是等腰直角三角形；求出，则；过点M作交于K，设，可得；证明，得到，由此可得，解得，则，即可推出N为的中点，如图所示，取中点W，连接，则为的中位线，由平行线的唯一性可知与重合，即点W与点H重合，则；根据题意可得点在以C为圆心，半径为的圆上运动，则当三线共线时，有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点A作交延长线于T，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于T交于Q，在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，
∴三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
过点M作交于K，设，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴N为的中点，
如图所示，取中点W，连接，
∴为的中位线，
∴，
又∵，
∴由平行线的唯一性可知与重合，即点W与点H重合，
∴；
由旋转的性质，
∴点在以C为圆心，半径为的圆上运动，
设点到的距离为h，
∴，
∴当h最小时，有最小值，
故当三线共线时，有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定等等，确定点F的运动轨迹以及点的运动轨迹是解题的关键．
21．(1)
(2)或或
【分析】（1）当，，三点在同一直线上时，即点落在上，分别用含x的式子表示出，和，然后利用勾股定理求出x即可；
（2）分两种情况: ①根据题意作图，当时，设，则，建立如图所示平面直角坐标系，求出直线：，由勾股定理得求出，求出中点坐标，代入上，即可求解；②根据题意作图，如图，当时，设，则，建立如图所示平面直角坐标系，同样得出直线：，为等腰三角形，过作的垂线交于，及交圆于，根据为等腰三角形，求出直线：，联立：，最终求出，再分别代入中，求解即可．
【详解】（1）解：连接，∵在矩形中，，
，
当，，三点在同一直线上时，即点落在上，
∵，
∴，，，，
，
，
，
；
（2）解：①根据题意作图，如图，当时，
设，则，建立如图所示平面直角坐标系，
设直线：
将代入，得，
解得：，
直线：，
，
为等腰三角形，过作的垂线交于，
，
由勾股定理得：，
，
，
，即，
根据轴对称知到直线：上，
，
解得：，
即；
②根据题意作图，如图，当时，
设，则，建立如图所示平面直角坐标系，
设直线：
将代入，得，
解得：，
直线：，
，
为等腰三角形，过作的垂线交于，及交圆于，
为等腰三角形，
，
，
，
设直线：，
，
解得：，
直线：，
联立：，
解得：，
，
，
所以与的中点坐标分别为：，再分别代入中，
解得：或，
或，
综上所述：是以为腰的等腰三角形，为或或．
【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质，圆，一元二次方程求解，一次函数，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)当点P在线段上，．证明见解析
(3)当点P在线段上运动时，线段之间的数量关系为或．
【分析】（1）先根据所对的直角边是斜边的一半以及线段中点的定义即可解答；
（2）如图②，延长交于点G，先证明可得，即，再根据直角三角形中线的性质可得，即可证明结论；
（3）分当点P在线段的延长线上和上两种情况，分别延长交于点G，取中点M，连接．再证三角形全等、四点共圆、等边三角形的判定与性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图①，在菱形中，，
∵点O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
∴．
（2）解：，证明见解析；
证明： 如图②，延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3）解：当点P在线段上运动时，线段之间的数量关系为或．证明如下：
①如图③：当点P在线段的延长线上时，延长交于点G，取中点M，连接．
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A，E，O，B四点共圆，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
②：如图④，点P在线段上时，延长交于点G，取中点M，连接．
同理①得，
∴，
同理①得点C，F，O，B四点共圆，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵．
∴；
综上所述，当点P在线段上运动时，线段之间的数量关系为或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的的判定与性质、四点共圆的应用等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
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