24.1.2 垂直于弦的直径同步练习题（含解析）

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人教版 数学九年级上册
24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习题
一、单选题
1．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
3．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则 B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分
4．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
6．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．90°
7．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
9．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A． B． C． D．
10．为了测量圆形工件的直径．
甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；
乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．
下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对
二、填空题
11．如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，若 ，，则 的长度是 ．

12．设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ．
13．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点、，点为线段上一动点，以为直径的的半径，是以为斜边的等腰直角三角形，且点、都在第四象限，当点到过点、、三点的抛物线的顶点的距离最小时，该抛物线的解析式为 ．
15．如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．

三、解答题
16．如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的横截面．若油面宽，油的最大深度为，

(1)用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心O；
(2)求该油罐横截面的半径．
17．平面直角坐标系中，点、、、在上．
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)点P的坐标是 ___________，的半径是 ___________．
18．如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
19．已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线平移后得到抛物线．
探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．
20．如图，我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备直径多大的管道？

21．问题提出
（1）如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为______ ．
问题探究
（2）如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，试猜想：当点在什么位置时，最长，并说明理由．
问题解决
（3）如图，四边形是某市规划中的新商业区示意图，，，，，，现计划在四边形内选取一点，把建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区，为方便进入商业区，需修建小路，，从实用和美观的角度，要求满足，求商业活动区的最大面积．
22．【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，
则 ，通过这两个三角形全等可得线段与之间的关系为 　 　 ．
【问题类比】
如图2、3，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论 （填成立或不成立），若成立，请选择图2证明你的结论；若不成立，请选择图3说明理由；
【拓展延伸】
（1）若点E是边长为2的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则的取值范围是 　 　 （直接写出结果）．
（2）若点E是边长为2的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为 　 　（直接写出结果）．

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参考答案：
1．B
【分析】连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长．
【详解】解：连接，
设，
则，
点为弦的中点，为圆心，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．
2．D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
3．C
【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
4．A
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案.
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.
5．C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
6．C
【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况.
【详解】①当△ABC时锐角三角形时，
连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴ ，
∵OB=2
∴
∴∠BOD=60°
∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，
∵=，
∴；
②当△ABC时钝角三角形时，如图，
由①可知∠E=60°，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠E+∠A=180°，
∴∠A=180°-60°=120°.
故∠A的度数为60°或120°.
故答案为：C
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键.
7．C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
【详解】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．D
【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A．
根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，A正确
∵，
∴，，B正确
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定．
9．B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
10．D
【分析】甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．
【详解】
甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，
∵，
∴，
设圆O的半径为r，
∴，
在中，有：，
∴，
解方程即可求出r，即甲的说法正确；
乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，
设圆O的半径为r，
同理可得：，
解方程即可求出r，即乙的说法正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
11．
【分析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，

，
，
由勾股定理得，，
，
，又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
12．17或7/7或17
【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
∵ABCD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，
在Rt△CEO中，OE==12；
同理，OF==5，
故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；
②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；
故答案为：17或7．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
13．16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
14．
【分析】过点F作轴于点G，设点，分别将点E和点F的坐标表示出来，根据两点之间的距离公式求出，即可求出m的值，即可求解．
【详解】解：设点，
∵，，
∴，
∵以为直径的的半径，
∴，则，
∴，
过点F作轴于点G，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最小，
∴，，
设抛物线的表达式为：，
把代入得：，解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质．
15．
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)该油罐横截面的半径为．
【分析】（1）在横截面上取一点C，连接，作、的垂直平分线，它们的交点即为圆心O；
（2）如图，连接，交于E，设该油罐横截面的半径为r，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，求解即可．
【详解】（1）解：圆心O的位置如图所示：

（2）解：如图，连接，交于E，设该油罐横截面的半径为r，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即该油罐横截面的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)；5
【分析】（1）根据垂径定理可知，点P的坐标是弦，的垂直平分线的交点；
（2）根据两点间距离公式求出圆的半径即可．
【详解】（1）解：∵弦的垂直平分线是，弦的垂直平分线是，
∴与的交点即为圆心P，如图所示：
（2）解：根据解析（1）可知，点P的坐标为，
的半径为：，
故答案为：；5．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握垂径定理及其推论，是解决本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．

四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
19．(1)0
(2)①②
【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题可知：
时，总有，
．
则，
∴，
∴总成立，且，
；
（2）①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或（舍）．
（ii）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，
解得或（舍），
综上，，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或（舍）．
（ii）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或0（舍）．
综上，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上．

令，解得，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
20．修理工人应准备直径为的管道．
【分析】连接，作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【详解】解：如图，过O作于C，连接，设圆的半径为x，

∴，，
在中，，
∴，
解得．
∴直径为．
答：修理工人应准备直径为的管道．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．（1） ；（2）当且仅当经过圆心时，的长度最大，理由见解析；（3）
【分析】（1）利用底一定，高最大时三角形的面积最大解答即可；
（2）设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，利用矩形的判定与性质和垂线段最短解答即可；
（3）根据题意得，点、、、四点共圆，由的结论可知，当点为优弧的中点时，可求得的面积的最大值．
【详解】解：（1）当点为的中点时，，此时，取最大值为，
面积的最大值为，
故答案为：；
（2）证明：设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，

，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
当且仅当经过圆心时，的长度最大；
（3），
点、、、四点共圆，
由的结论可知，当点为优弧的中点时，可使得的面积最大，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为优弧的中点，
，
为的中点，
，
，
的面积的最大值为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，利用已知条件构造恰当的辅助线是解题的关键．
22．【问题思考】；；；
【问题类比】成立，证明见解析
【拓展延伸】（1）；（2）
【分析】问题思考：由“”可证，可得，，由四边形内角和定理可证；
问题类比：由“”可证，可得，，由四边形内角和定理可证；
拓展延伸：（1）连接，，，易得，，由三角形三边关系可知：，当，，在同一直线上时取等号，即可得；
（2）由题意可得点在以为直径的上运动，则当时，点到边有最大距离，即可求解．
【详解】解：问题思考：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，，；
问题类比：仍然成立，理由如下：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：（1）连接，，，

∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
由三角形三边关系可知：，当，，在同一直线上时取等号，
∴，
故答案为：；
（2）如图3，连接，

由（2）可知：，
∴，
∴点在以为直径的上运动，
∴当时，点到边有最大距离，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴点到边的最大距离为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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