24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习题（含解析）

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人教版 数学九年级上册
24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习题
一、单选题
1．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为，．半圆与正方形组成一个新的图形，点M为（靠近点D）的三等分点，将此组合图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点M的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3．下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
4．下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形
6．下列说法正确的是（　　）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
7．下面图形中的角是圆心角的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)，下列描述正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
9．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
二、填空题
11．如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．

12．判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
13．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．

14．为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
15．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
三、解答题
16．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．

(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径长；
17．如图所示，是的两条弦，且，则与的大小有什么关系？为什么？

18．如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．

(1)连接，判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求圆O的半径；
19．已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上
求证：．

20．如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．

21．如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．

(1)求证：．
(2)若，求的长．
22．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
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参考答案：
1．A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
2．D
【分析】设交轴于点，过点作轴于点，交于点，连接，先利用正方形的性质、勾股定理、圆心角求出点的坐标为，再根据绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律分别求出第1、2、3、4次旋转结束时，点的坐标，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，设交轴于点，过点作轴于点，交于点，连接，

∵正方形的顶点为，，
，
∴四边形是矩形，
，
∵点为半圆上的点，且为（靠近点）的三等分点，
，
，
，
，，
，
∵绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律：横、纵坐标先交换位置，纵坐标再变为相反数，
第1次旋转结束时，点的坐标为，
第2次旋转结束时，点的坐标为，
第3次旋转结束时，点的坐标为，
第4次旋转结束时，点的坐标为，
由此可知，旋转4次一个循环，
，
第2023次旋转结束时，点的坐标与第3次旋转结束时，点的坐标相同，即为，
故选：D．
【点睛】本题考查了绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律、正方形的性质、勾股定理、圆心角等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
3．D
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
4．A
【分析】根据正方形的判等等，矩形的判定定理，三角形中位线定理，弧、弦、圆周角的关系逐一判断即可．
【详解】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①假命题；
②六边形的内角和等于，所以②是真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③是假命题；
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④是真命题；
根据三角形中位线定理可得：
，
再由菱形的性质得到，即可证，即可证明四边形是矩形；
⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个平行四边形（同④用三角形中位线证明），所以⑤是假命题；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题的真假，涉及正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形中位线定理等知识点，正确理解这些判定与性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据尺规作图可知所作的平分，据此结合等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质、垂直平分线的判定即可作答．
【详解】根据尺规作图可知所作的平分，，
∴，
A项，∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴在中，，即有，
∵，
∴，故该项正确，不符合题意；
B项，∵，
∴，故该项正确，不符合题意；
D项，连接、，
∵是等腰三角形，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，故该项正确，不符合题意；
C项，根据图形只能证明垂直平分，不能证明垂直平分，
故该项不正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，同圆中相等的圆心角所对应的弧也相等等知识，掌握等腰三角形的判定，是解答本题的关键．
6．C
【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．
【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，
∴A、D错误，C正确；
∵圆心角α的取值范围是，
∴B错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．
7．D
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．是圆心角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．
8．D
【分析】根据已知，利用图象判断即可．
【详解】解：如图，当x=25%时，∠MON=90°；当x=50%时，∠MON=180°；OM=ON=1；
A、d（25%）=＞1，本选项不符合题意；
B、当x＞50%时，0≤d（x）＜4，本选项不符合题意；
C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当x1+x2=100%时，d（x1）=d（x2），本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
10．D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
11．
【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
12． 真命题 假命题 真命题 假命题
【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．
【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；
对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；
对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；
对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．
故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．
【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
13．
【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接，
由题意可得：，，，
∴，，
∴．
故答案为．

方法二∶解∶ 连接，
由题意可得：，
根据圆周角定理，知．
故答案为．

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．
14．4
【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，
∵360÷100=3.6，
∴至少需要4台．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
15．/50度
【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，则，
由折叠的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
则弧的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
16．(1)
(2)3
【分析】（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解： 是的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是的一条弦，，
，
设的半径长为，
在中，，
，
，
的半径长为3．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
17．相等，理由见解析．
【分析】连接AD，利用圆心角、弧、弦的关系解答即可．
【详解】解：相等．
理由是：连接，

∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．
18．(1)，证明见详解
(2)5
【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
延长交于点，连接，

，
，
；
（2）解：由（1）中结论，，
，
，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，即的半径为5．

【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．见解析
【分析】连接，，，根据弧、弦、圆心角的关系证明即可．
【详解】证明：连接，，．

，
．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握定理是解题的关键．
20．见解析
【分析】根据角平分线的判定定理可得，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据即可证明；
（2）作于点H，求出，再根据得,从而可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）作于点H，

∵，
∴.
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：连接，如图，设的半径为，则，，
平分，
，，
在中，，
解得，
即的半径为；
（2）解：连接，如图，
，
，
即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即弦所对的圆心角的度数为．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
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