24.1.4 圆周角同步练习题（含解析）

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人教版 数学九年级上册 24.1.4 圆周角 同步练习题
一、单选题
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是⊙的内接四边形，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，中，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在等腰直角中，，，点是边上一点（点不与点，重合），连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，线段与边交于点，有以下说法：
Ⅰ四边形的面积总等于；
Ⅱ当时，的外接圆半径为．
下列判断正确的是（ ）
A．两种说法都正确 B．说法Ⅰ正确，说法Ⅱ不正确
C．说法Ⅰ不正确，说法Ⅱ正确 D．两种说法都不正确
8．如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（ ）度
A．64 B．26 C．52 D．32
9．如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
11．如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 .
12．如图，是的直径，弦于点，若，的半径为，则圆心到弦 的距离为 ．

13．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．

14．如图，是的直径，点在圆上，且．则 ．
15．点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为 .

三、解答题
16．如下图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

(1)在图1中画出一个直角三角形；
(2)在图2中画出一条与相等的弦；
(3)在图3中画出一个与全等的三角形．
17．如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.

(1)求证：；
(2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案）
(3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径.
18．如图：已知和相交于两点，过的直线交两圆于两点，过的直线交两圆于两点，与交于点，连接．为的中点．求证：．

19．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
20．如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．

21．如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．

(1)若，求的度数．
(2)若，，求的直径．
22．阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．
其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．

(1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________．
(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．
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参考答案：
1．C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．
2．C
【分析】根据圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解．
【详解】解：四边形是⊙的内接四边形，且，
，
又与同弧，
，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形性质及圆周角定理，熟知圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键．
3．C
【分析】根据可得，根据三角形内角和等于可得，再利用同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和以及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识并能灵活运用．
4．B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
5．D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
6．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
7．A
【分析】Ⅰ根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形 到现在即可得到结论；
Ⅱ根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：Ⅰ在等腰直角中，，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
在与中，
，
，
四边形的面积的面积；
Ⅱ，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的外接圆半径为，
综上分析可知，两种说法都正确，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形 的判定和性质定理是解题的关键．
8．C
【分析】连接，根据，可得点C在点O为圆心的圆上，从而得到，再求出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴点C在点O为圆心的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点P在量角器上显示的读数为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意得到点C在点O为圆心的圆上是解题的关键．
9．D
【分析】先由平行线的性质求出，再由圆内接四边形对角互补求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．A
【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键．
11．40°、20°、100°
【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
【详解】解：①根据题意，画出图1，
在中，，
∴，
在中，
∴
又∵
∴
在中，
即
整理得，
∴ ．
②当P在线段的延长线上，如图2
在中，
把①②代入③得 则
∴
③当P在线段的反向延长线上，如图3，
①②③④联立得
故答案为：40°、20°、100°．
【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
12．
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦的距离为，由圆周角定理知，已知半径的长，即可在中求的长度．
【详解】解：连接，

∵是⊙O的直径，弦于点E，
∴圆心O到弦的距离为，
∵（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
13．
【分析】连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答．
【详解】解：连接，

弧、、的长相等，
，
设，
，
，
，
在中，，
解得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．
【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为，然后根据三角形内角和即可求出的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直径所对圆周角为的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是直径所对圆周角为．
15．
【分析】连接、，根据是的直径，得出，，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据勾股定理求出．
【详解】解：连接、，如图所示：

，，，
∴是的直径，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角是直角．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作直径，连接即可；
（2）作直径和，则利用圆的中心对称的性质得到；
（3）作点、、关于点的对称点得到，则．
【详解】（1）如图1，为所求；
（2）如图2，为所求；
（3）如图3，为所求．

【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17．(1)见解析
(2)60
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义，再根据圆内接四边形的任一外角等于它的内对角以及圆周角定理证得，进而利用等腰三角形的判定可得结论；
（2）根据等边三角形的性质和圆内接四边形的任一外角等于它的内对角得到即可求解；
（3）先根据等弦对等弧和垂径定理的推论得到，，再证明四边形是矩形，得到，进而求得，在中利用勾股定理求得可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，又，
∴，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴,
又∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：；
（3）解：在图2中，连接延长交于H，交于 K，

∵，
∴，则，
∴，，
∵为直径，
∴，又，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
∴的半径为．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、圆内接四边形的性质、等弦对等弧、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解答的关键．
18．见解析
【分析】根据圆周角定理得到，于是得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：在中，和所对的都是弧，
，
同理可在中得出：，
，
为的中点，
，
在和中
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和圆周角定理，通过圆周角得出三角形全等是本题解题的关键．
19．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．见解析
【分析】连接，依据，即可得出，进而得到，可得，再根据，即可得到．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由为的直径，是弦，且，由垂径定理即可求得，然后由圆周角定理，可得；
（2）设的半径为，则，，利用勾股定理可求出的值，继而求得答案．
【详解】（1）解：，
，
为的直径，是弦，且，
，
；
（2）设的半径为，则，，
，，
，
在中，，
，解得：，
的直径为．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握这些定理是解答本题的关键，注意掌握数形结合思想．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据“折弦的中点”定义可得：；
（2）证法一：在上截取，连接、、、．先证明，再证明，得到，进而证明，即可证明；
证法二：过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，先证明，，再证明，得到，再证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：，
故答案为：．
（2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、．
∵为的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，
∵为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．

【点睛】本题为新定义问题，考查了圆周角定理，弧、弦的关系，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加适当辅助线构造全等三角形是解题关键．
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