24.3 正多边形和圆同步练习题（含解析）

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人教版 九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 同步练习题
一、单选题
1．下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形
2．如图，在边长为2的正六边形纸片上剪一个正方形，若，则得到的正方形边长最大为( )

A． B． C． D．
3．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
7．如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．

A． B．2 C． D．
8．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
9．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
10．下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
二、填空题
11．如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则 ．

12．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）

13．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
14．如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．

15．如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为 ．

三、解答题
16．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．
17．我们学面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？

18．已知的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．

(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，若E为弦的中点，求证：．
(3)连结、、，若是的内接正n边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．
19．对于和的弦，以为边的正方形为关于的“关联正方形”在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为圆心，的长为半径作，点为上的任意一点（不与点重合）．
(1)当时，若直线上存在点在关于的“关联正方形”上，求的取值范围；
(2)若点在关于的“关联正方形”上，点与点的最大距离，当取最小值时，直接写出此时和的值．
20．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长．
21．如图，已知．
(1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的半径为，求它的内接正方形的边长．
22．如图，求边长为a的正方形的外接圆的半径长．

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参考答案：
1．A
【分析】确定每个图形的中心角，然后根据旋转的性质确定即可．
【详解】解：如图
∵等边三角形的中心角为，
∴旋转后即可与原图形重合；
∵正方形的中心角为，
正五边形的中心角为，
正八边形的中心角为，
∴正方形、正五边形、正八边形旋转后不能与原图形重合．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，确定图形的中心角，理解旋转的性质是解题关键．
2．D
【分析】当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大，由此画出图形求解即可．
【详解】解析：当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大．
如图，取正六边形的中心O，连接，交于点M，

此时，垂直平分，正方形的中心也是O，是等边三角形，
∴，，．
设，则，
∴，解得，
∴，
∴正方形的边长为：，
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的三边关系，正六边形的性质等知识，根据题意画出符合条件的正方形是解题的关键．
3．C
【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
【详解】解：这个多边形的边数是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
4．D
【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；
（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；
（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．
【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；
②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；
③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．
故选D
【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．
5．A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
6．C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
7．D
【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：

则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：，
由勾股定理可得：，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．
8．B
【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可．
【详解】解：正六边形的中心角的度数为：，
∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合，
∴旋转角的大小不可能是；
故选B．
【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键．
9．D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
10．D
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【详解】A、利用三角板画45 的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键．
11．/48度
【分析】连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，得到，再根据正五边形的内角和求出的度数，即可得到答案．
【详解】解：连接,

∵点O是正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．
12．（答案不唯一）
【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：，
则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．
13．18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，
则，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
14．2
【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∴是的内接正三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
又∵，
∴，
∴，
由圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．
【分析】根据正六边形的性质求出正六边形的“边心距”，再将问题转化为“边心距”的6倍即可．．
【详解】解：设正六边形的中心为O，连接、，过点O作，垂足为T，

∵正六边形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
∴，
过点P分别作正六边形的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H， 则点P到这个正六边形六条边的距离之和，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键．
16．(1)见解析
(2)18
【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可；
（2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
即，
又是半径，
是的切线；
（2）解：连接，

，
以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
，
以为边的圆内接正六边形的周长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提．
17．
【分析】设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，推出每个小正六边形的面积，推出阴影部分的面积为，再利用的面积，求出可得结论．
【详解】解：设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，
每个小正六边形的面积，
阴影部分的面积为，
的面积为75，
，
，
阴影部分的面积，
【点睛】本题考查平面镶嵌，等边三角形的面积，正多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据垂径定理和弧、圆心角的关系可求得，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）先根据垂径定理得到，再利用三角形的中位线性质得到，，证明得到即可证得结论；
（3）先求得、、所对的圆心角的度数，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而求得即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵，垂足为点F，，
∴，则，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图2，连接，

∵为直径，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，

∵是的内接正n边形的一边，是的内接正边形的一边，
∴，
则，
解得：．
经检验：是原方程的根．
∴，，
∵，，
∴，
∴，则，
则，
．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及垂径定理，圆周角定理，弧、圆心角的关系、含30度角的直角三角形的性质，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、正多边形的中心角等知识，熟练掌握圆的相关知识的运用是解答的关键．
19．(1)；
(2)，．
【分析】（1）根据题意，找出符合题意的圆，再利用切线的性质求出线段长度即可；
（2）圆外一点与圆上一点距离，当三点共线时，有最大和最小值．
【详解】（1）如图，关于的“关联正方形”上的所有的点在以和点为圆心，为半径，以，和，为半径的五个圆上及圆内，由直线上存在点在关于的“关联正方形”上，

①当直线与相切时，设切点为，交轴于点，交轴于点
∵，
∴，
∴，此时；
②当直线与相切时，设切点为，交轴于点，
∵，
∴，此时，
综上所述，．
（2）如图，当时，取最小值，即点在点正上方时，

故有，解得：；
如图，

由上可知：，取最小值，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故写：．
【点睛】本题考查了圆的切线，有关计算，解题的关键是灵活运用圆的性质，涉及圆的最值问题难度较大．
20．(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题；
（2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：正方形如图所示：
（2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示：
．
【点睛】本题考查作图 应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长．
【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形．
（2）因为的半径为，四边形是正方形，
所以，，
所以．
故的内接正方形的边长为．
【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．
22．
【分析】连接，，根据正方形的性质得到，，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵正方形边长为a，
∴，
∴，
即半径长为．

【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．
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