24.4 弧长和扇形面积同步练习题（含解析）

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人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步练习题
一、单选题
1．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）

A． B． C． D．
2．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若，水平面上点M与点B之间的距离为，则所在圆的半径是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（ ）
A．． B．． C．． D．．
4．如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为(　　　)

A． B．， C．， D．，
5．如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为2，，，将绕到心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）（ ）

A． B． C． D．
7．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
9．某圆锥形遮阳伞主视图如图所示，若，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为（ ）
A． B． C． D．
10．用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
11．数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米．
12．如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ．

13．在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习：
如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，．
依据上述条件，小明得到如下结论：
①；
②；
③若，则．
正确的结论是 ．（填写序号）
14．如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 ．
15．如图，点 的坐标为 ，把点 绕坐标原点 逆时针旋转 后得到点 ．则点 运动的路径长为 ，点 的坐标是 ．

三、解答题
16．如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．

(1)若，求线段的长度；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分面积．
17．如图，是的直径，是的弦，且．

(1)求证：直线为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
18．如图1，在中，，于，为边上的点，过、、三点的交于，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，点为弧上一动点，连接，，．在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在扇形中，为弧上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，请直接写出内心所经过的路径长．
19．如图，四边形内接于，且的半径为r，．

(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
20．如图，在扇形中，，的长为．以点B为圆心，的长为半径作交于点C，则图中阴影部分的面积为 ．

21．如图，为的直径，在的延长线上，为圆上一点，且．

(1)求证：与相切；
(2)若，，求扇形的面积．
22．如图，内接于，，，，．
(1)度数 　　．（直接写出答案）
(2)求的长度．
(3)是上一点（不与，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长．
②将点A绕点P逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为 　　．（直接写出答案）
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参考答案：
1．B
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．
2．B
【分析】如图：过A、B作的垂线交于点O，O即为圆心；再根据题意可得的度数，然后可得得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：过A、B作的垂线交于点O，
设圆的半径为r
∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，
∴O为圆心，
∵，
∴，
∴，
∵水平面上点M与点B之间的距离为，
∴
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧的圆心角．
3．D
【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．
【详解】解：设，
，
，
解得：，
圆心角的度数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
4．A
【分析】由题意知，顶点从开始到结束所经过的路径为圆弧，所对的圆心角为，根据弧长公式计算求得顶点从开始到结束所经过的路程，再根据等边三角形的三线合一的性质，即可求得的横坐标．
【详解】解：一个边长为的等边三角形木板，在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，

，，
，
作于，
是等边三角形，
的横坐标为，
故选：A．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，弧长公式等知识，得出点运动的路径是解题关键．
5．C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．
6．C
【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，，从而可得，，然后根据阴影部分的面积等于即可得．
【详解】解：∵直径长为2，
，
∵，，
，
，
∵，是绕圆心逆时针旋转得到的，
∴，，，
∴，，
，，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形的面积、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
7．A
【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，

∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．A
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解．
【详解】依题意：，
∴
∴四边形是菱形
∴
连接与交于D点

∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形．
9．A
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可．
【详解】解：如图，过点O作于点D，
∵
∴
∵
∴
∴
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面周长，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的侧面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．
10．C
【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．
【详解】解：扇形的弧长：，
则圆锥的底面直径：．
故选：C．
【点睛】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键．
11．
【分析】根据勾股定理得，圆锥的高=母线长底面圆的半径得到结果．
【详解】解：由圆锥的轴截面可知：
圆锥的高=母线长底面圆的半径
圆锥的高，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决本题的关键．
12．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
∴侧面展开图扇形的圆心角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥侧面展开图的相关知识是解题的关键．
13．②③
【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
①错误，不符合题意；
，
②正确，符合题意；
，
，
，
，
③正确，符合题意；
综上所述，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系．
14．cm
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角 再利用勾股定理求解即可.
【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示：
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为
则n=90，
∵
即这根绳子的最短长度是cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.
15．
【分析】（1）如图，过作轴于，根据点的坐标求得的长度，然后根据弧长公式解答；过点作轴的垂线，垂足是，构造全等三角形，由全等三角形的性质求得答案．
【详解】解：如图，过作轴于，

，
，
点经过的弧长为；
把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点，过点作轴的垂线，垂足是，
，，
，，，
，，
则点的坐标是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握坐标与图形性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
16．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，如图，连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；
（2）连接，，由是的中点，可得，证明，得，则结论得证；
（3）阴影部分的面积即为四边形的面积减去扇形的面积．
【详解】（1）如图，连接，

是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
；
（2）连接
为的直径，
，在中，
，
，
，
是的切线，
，
为半径，
是的切线；
（3）
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接，由，可得，从而求得，可证得直线为的切线；
（2）先求和扇形的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为圆的半径，
∴直线为的切线；
（2）解：由（1）可知，
在中，∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直，学会用分割法求阴影部分面积是解题的关键．
18．(1)见解析．
(2)，理由见解析．
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，根据圆内接四边形的性质，可求得，进而求得，问题即可得证．
（2）过点作的垂线，交于点，连接，可证得，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，即可求得，，之间的数量关系．
（3）根据内心的定义，先求得的度数，根据，可求得，当点在上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上运动，内心所经过的路径长等于劣弧的长度，据此只需求得劣弧所对应的圆心角和劣弧所在圆的半径即可．
【详解】（1）∵，，
∴为等腰直角三角形底边上的中线和顶角的角平分线．
∴，．
∵四边形为的内接四边形，
∴．
又，
∴．
在和中
∴．
∴．
（2）．
理由如下：
如图，过点作的垂线，交于点，连接．

根据题意可知．
∵，
∴为的直径．
∴．
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
又，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
（3）．
理由如下：

如图，连接，，．
∵为的内心，
∴，．
∴
．
在和中
∴．
∴．
当点在上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上运动，内心所经过的路径长等于劣弧的长度．
设劣弧所在的圆为．
根据题意可知，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
内心所经过的路径长等于．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算，牢记全等三角形的判定定理及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算公式是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论；
（2）根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，，，

四边形内接于，，
，
，
的长为；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20．///
【分析】根据等边三角形的性质，分别计算出扇形的面积、的面积、由此即可计算阴影部分的面积．等边三角形面积公式：，a为边长．
【详解】连接，，则，即为等边三角形，

∵半径
∴
∴，
，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据等边对等角可得，结合已知进一步推出，即可证明；
（2）根据（1）中结论，等腰三角形的判定和性质证明是等边三角形，再利用扇形面积计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
即，
∴与相切；

（2）由（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即，
∴，
即是等边三角形，
∴，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用圆的相关知识点进行推论．
22．(1)
(2)
(3)①；②4
【分析】（1）利用勾股定理求出，在根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理解答即可；
（2）连接，，利用圆周角定理求得圆心角的度数，再利用弧长公式解答即可；
（3）①连接，利用等腰直角三角形的性质求得，利用全等三角形的判定与勾股定理求得，则可求；②连接，，设与交于点，通过证明，，，四点共圆，利用圆周角定理和垂径定理得到经过圆心，过点作于点，利用垂径定理和勾股定理求得，连接，利用勾股定理求得圆的半径，再利用等腰直角三角形的性质求得，勾股定理求得，则．
【详解】（1）解：在中，，，
，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）连接，，如图，

，
，
在中，，，
，
的长度；
（3）①是上一点（不与，，重合），垂直的某一边，
点只能在上，
连接，如图，

由（1）知：，
，
为等腰直角三角形，
．
在和中，
，
，
，
．
；
②由题意知：点在上，连接，，设与交于点，如图，

，，
．
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
平分，
为等腰直角三角形，
垂直平分，
经过圆心，
过点作于点，则，
，
，
，
，
，
连接，
，
，
．
．
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的有关计算，充分利用圆周角定理添加恰当的辅助线是解题的关键．
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