第4章图形的相似 自主学习同步达标测试题2023-2024学年北师大版九年级数学上册（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》
自主学习同步达标测试题（附答案）
一、单选题（满分40分）
1．下列说法正确的有个（ ）
（1）任意两个矩形都相似 （2）任意两个正方形都相似
（3）任意两个等边三角形都相似 （4）任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知中，，若，，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与的面积之比为（　　）

A．： B．： C．： D．：
7．已知线段，点P是线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形和正方形是位似图形，点A的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）

A．或 B．或
C． D．或
二、填空题（满分40分）
9．苯，则 ．
10．在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．

11．如图，已知，，，，那么线段的长度等于 ．

12．如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．

13．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为 米．

14．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

15．如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点，，，其中，则图中三个阴影部分的面积和为 ．

16．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是 ．

三、解答题（满分40分）
17．如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．

18．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且，

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

(1)画出关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；
(3)若中边上一点D的坐标为，是点D在的位似上的对应点，请直接写出点的坐标．
20．如图，在矩形中，点，分别在，上，连结，，且．

(1)求证：．
(2)连结，，线段是线段与的比例中项．
①若，求线段的长．
②求证：．
21．如图①，正方形和正方形，连接，．
　　 　　
(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图②，①线段与之间的数量关系是________；②直线与直线之间的位置关系是________．
(2)探究：如图③，若四边形与四边形都为矩形，且，，证明：直线．
(3)应用：在（2）情况下，连接（点在上方），若，且，，则线段是多少？（直接写出结论）
参考答案
1．解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
故选C．
2．解：，
，，，
，
故选．
3．解：在中，，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴，
故选：．
4．解：A、∵，，
∴，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不合题意；
C、∵，
∴，，
，故此选项不合题意；
D、不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
5．解： ，且，
，
，故选项B正确，不符合题意；
，
，故选项A正确，不符合题意；
，
，故选项C正确，不符合题意；
由条件无法证明，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
6．解：设，，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
故选：B．
7．解：点是线段的黄金分割点，，
，
故选：D．
8．解：∵正方形和正方形中，点A的坐标为，点的坐标为，
∴，
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是与的交点.
设所在的直线的解析式为
解得
∴所在的直线的解析式为
当时，，所以与的交点为；
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是与的交点
设所在的直线的解析式为
解得
∴所在的直线的解析式为
设所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
联立解得
∴与的交点为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或
故选：D．
9．解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
10．解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
；
，
，，
，
，
的边长为．
故答案为：．
11．解：，
，即，
解得，
，
故答案为：．
12．解：这样的直线有3条：

①如图1：作，∴；
②如图2：作，∴；
③如图3：过点作于点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
13．解：如图，过点作，垂足为，交于点，

则，
设米，
由得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴车宽的长度为米，
故答案为：．
14．解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴（米）；
故答案为：
15．解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，，，
∴，
设的边为x，边上的高为h，
则，整理得，
∴，
，
，
∴三个阴影部分面积的和为：．
故答案为：13．
16．解：根据题意可得：
∵，
∴，
∵点O到的距离为，点O到的距离为，
∴由相似三角形对应高之比是相似比可得：，
，
，
故答案为：．
17．证明：如图，延长交于，

∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
18．解：（1）∵在平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

19．（1）解：如图所示， 为所求．
（2）解：∵，
∴，
如图所示，为所求．
（3）解：∵，
∴，即．

20．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：①如图，

∵线段是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）；
②证明：由（1）可知，，
∴，
∴，
∵线段是线段与的比例中项，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．解：（1）①∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图2，延长交于G，交于H，

由①知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）∵四边形和四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）

∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴点B，E，F在同一条直线上如图5，

∴，
在中，根据勾股定理得，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．