3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母同步练习题（含解析）

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七年级数学上册 第三章 3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母 同步练习题
一、单选题
1．定义“☆”运算，例如：，若，则x的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．设为实数，现规定一种新运算，则满足等式的的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知关于 的方程 的解都是正整数，则整数 的所有可能的取值的积为( )
A． B． C． D．
4．设，a为常数，x的取值与A的对应值如下表：
x … 1 …
A … 4 …
小明观察上表并探究出以下结论：①；②当时，；③当时，；④若，则．正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④
5．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若一元一次方程有无数个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如果方程与方程的解相同，则k的值为( )
A． B． C． D．
8．若关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值是（　　）
A．1 B．5 C． D．
9．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（ ）
①若，则；
②若的值与x的值无关，则；
③若，则；
④若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数m有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．我们定义一种运算： ，例如， ， ，按照这种定义的运算，当时，（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在数学中，规定，若 ，则x的值为
12．若方程的解与关于的方程的解互为相反数， 则的值为
13．如果，那么 ．
14．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：的解为且，则方程是“商解方程”．若关于x的一元一次方程是“商解方程”，则 ．
15．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
三、解答题
16．（1）解方程：；
（2）计算：
17．解方程：
18．计算或解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式．
根据以上信息，回答问题：
(1)若，则它的导出多项式________；
(2)设是的导出多项式．
①若，求关于的方程的解；
②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值．
20．如果，那么我们称a与b是关于10的“圆满数”．
(1)7与___________是关于10的“圆满数”，与___________是关于10的“圆满数”（用含x的代数式表示）；
(2)若，，判断a与b是否是关于10的“圆满数”，并说明理由；
(3)若，，且c与d是关于10的“圆满数”，x与k都是正整数，求k的值．
21．布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务．
任务一：自主探究
定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”；比如3与是关于的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．
（1）填空：与8是关于______的“平衡数”．
任务二：合作交流
（2）现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，与取值无关，求的值．
22．把（其中a、b是常数，x是未知数）这样的方程解为“和合方程”，其中“和合方程”的解称为“和合方程”的“和合值”．
例如：“和合方程”，其“和合值”为
(1)是“和合方程”的“和合值”，求k的值：
(2)“和合方程”（k为常数）存在“和合值”吗？若存在，请求出其“和合值” （用含k的式子表示），若不存在，请说明理由：
(3)若关于x的“和合方程”的“和合值”是关于x的方程的解，求此时符合要求的正整数m、n的值．
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参考答案：
1．D
【分析】先根据新定义的运算法则，将化为关于x的一元一次方程，然后解方程即可．
【详解】∵，
∴
即
化简，移项可得
则可得
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查新定义的运算和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程．
2．C
【分析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】根据题中的新定义得：
去括号得：
移项合并得：，
故选C．
【点睛】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的解法，掌握“一元一次方程的解法步骤”是解本题的关键．
3．D
【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为正整数，分情况进行讨论即可．
【详解】解：
即，
解得：
∵的解都是正整数，
∴是正整数，
∴或或
解得：或或，
∴整数 的所有可能的取值的积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出是正整数是解题的关键．
4．D
【分析】①根据时，，可得：，据此求出a的值是多少即可．
②应用代入法，求出当时，A的值是多少即可．
③应用代入法，求出当时，B的值是多少即可．
④若，则，据此求出x的值是多少即可．
【详解】解：①∵时，，
∴，
解得：．
②当时，
．
③当时，
．
④若，
则，
∴
解得．
∴正确结论有3个：②③④．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
5．D
【分析】根据题意按照小刚的解方程步骤解方程，再根据解为求出a的值，再按照正确的步骤解方程即可．
【详解】解：由题意得，小刚的解题过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵小刚的求解结果为，
∴，
∴，
正确过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意还原小刚的解题过程从而求出a的值是解题的关键．
6．A
【分析】当方程满足时，有无数个解．
【详解】解：
整理得：
方程有无数个解，
，，
解得：，，
．
故选A
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及方程解的情况，熟悉方程的解的各种情况是解题关键．
7．A
【分析】分别解一元一次方程，根据解相同得出关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：，
解得，
，解得：，
∵方程与方程的解相同，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，同解方程问题，分别解一元一次方程是解题的关键．
8．C
【分析】利用一元一次方程的解法解出方程，根据同解方程的定义解答．
【详解】解：∵
解得：，
将代入得：，
解得：，
故选：C
【点睛】本题考查的是同解方程的定义，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．理解同解方程的含义，一元一次方程的解法是解本题的关键．
9．C
【分析】代入多项式列方程求解即可判断①；先代入多项式化简，再利用结果与x的值无关得到、的值，即可判断②；代入多项式列绝对值方程求解即可判断③；代入多项式，得到，根据题意得到符合条件的非负整数m值，即可判断④．
【详解】解：，，
①，
，
，
，①正确；
②，
的值与x的值无关，
的值与x的值无关，
，，
，，
，②正确；
③ ，，
当时，，
当时，，
当时，，
若，即，
当时，满足条件，③正确；
④，
，
，
若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数m有0、2、3、5，共4个，④错误，
故结论中正确的是①②③，
故选C．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键，注意0是非负整数．
10．B
【分析】根据新定义运算法则得到，然后解方程求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
，
所以，则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查整式的加减、解一元一次方程，理解新定义运算法则，正确列出方程是解答的关键．
11．1
【分析】由新规定得出方程，解方程可得x的值．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新运算，解一元一次方程，解答此题只要熟知解一元一次方程的步骤即可，即去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1．
12．/
【分析】先求出的解，再将解的相反数代入求m即可．
【详解】方程 ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得：，
把 代入方程得，
，
去分母得： ，
移项合并得： ，
合并同类项得： ，
解得： ．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
13．12
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：
去分母得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．
【分析】根据“商解方程”的定义，进行求解即可．
【详解】解：，
解得：，
∵一元一次方程是“商解方程”，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．理解并掌握“商解方程”的定义，是解题的关键．
15．
【分析】观察两个方程，设，则关于的一元一次方程可变为，再根据关于的方程的解，可得，即，解出即可得出答案．
【详解】解：设，则关于的一元一次方程可变为，
由方程的定义可知，关于的一元一次方程的解为，
即，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解法，熟练掌握换元法是解本题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据解一元一次方程的方法步骤求解即可；
（2）先计算有理数的乘方运算，化简绝对值，然后计算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
去括号得
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
（2）
．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．
【分析】根据解一元一次方程的方法步骤求解即可得到答案．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
系数化为1得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方的方法步骤是解决问题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算即可得到答案；
（2）先计算有理数的乘方，再结合乘法分配律进行有理数混合运算，即可得到答案；
（3）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（4）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：；
（4）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘方，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则和解方程的步骤是解题关键．
19．(1)
(2)①；②2
【分析】（1）根据导出多项式的定义求解即可；
（2）①根据导出多项式的定义可得，再解方程即可；②根据导出多项式的定义可得，然后根据的解为整数，求解正整数即可．
【详解】（1）若，则它的导出多项式；
故答案为：．
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵有整数解，
∴，
∴为整数，
∵为正整数，
∴的值为或4，即的值为2或3．
又因为是关于的二次多项式，
所以，m的值是2．
【点睛】本题以新定义：导出多项式为载体，主要考查了一元一次方程的求解，正确理解新定义、熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
20．(1)3，
(2)a与b是关于10的“圆满数”，理由见解析
(3)3或4或5或8
【分析】（1）根据“圆满数”的定义列式求解即可；
（2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为10即可；
（3）根据，，且c与d是关于10的“圆满数”，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值．
【详解】（1）解：∵，
∴7与3是关于10的“圆满数”，
∵，
∴与是关于3的“圆满数”，
故答案为：3，；
（2）a与b是关于10的“圆满数”，理由如下：
∵，，
∴
，
∴a与b是关于10的“圆满数”；
（3）∵，，且c与d是关于10的“圆满数”，
∴，
∴，
∴，
∵x为正整数，
∴当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，（舍去）
当时，，得，（舍去）
当时，，得，
∴k的值为3或4或5或8．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算和解一元一次方程，解题的关键在于能够准确读懂“圆满数”的含义．
21．（1）2；（2）6
【分析】（1）根据“平衡数”的定义即可得到答案；
（2）根据与的和与取值无关求出，再根据“平衡数”的定义求的值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴根据题意，与8是关于2的“平衡数”．
故答案为：2
（2）∵，与取值无关，
∴，
解得，
此时，
即的值为6．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了整式的加减，解一元一次方程等知识，读懂题意并正确计算是解题的关键．
22．(1)6
(2)存在，
(3)，或，或，
【分析】（1）将代入方程，求出的值即可；
（2）解方程可得，再分情况讨论：当时，，当时，无解；
（3）分别求出两个方程的解，由题意得，则有，即可求、的值．
【详解】（1）解：∵是“和合方程”的“和合值”，
∴，
解得：；
（2）存在，理由如下：
，
，
当时，，即为“和合值”；
当时，无解；
（3）的解为，
的解为，
两个方程的解相同，
∴，
∴，
、是正整数，
，或，或，．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“和合方程”的定义，并能准确求解方程是解题的关键．
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