3.4 实际问题与一元一次方程同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.4 实际问题与一元一次方程同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 655.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-05 09:39:16 | ||
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文档简介
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七年级数学上册 第三章
3.4 实际问题与一元一次方程 同步练习题
一、单选题
1．小明从家里骑自行车到学校，如果每小时骑，可按时到达；如果每小时骑，就会迟到5分钟，问小明家到学校的路程是多少？设小明家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某项工作甲单独做3天完成，乙单独做5天完成，若甲先干1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲、乙合作了x天，所列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．某商场将一件玩具按进价提高80%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利26%，则这件玩具销售时打折是（ ）
A．8折 B．7折 C．6折 D．3.3折
5．某球队参加比赛，开局9场保持不败，积21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜（ ）
A．4场 B．5场 C．6场 D．7场
6．阳光书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明同学一次性购书付款171元，那么他所购书的原价为（ ）
A．190元或213.75元 B．213.75元
C．200元 D．190元或200元
7．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．6 D．8
8．将边长为5的正方形分成若干个长方形，如果这若干个长方形恰好能拼成三个宽为1.5，长为a的长方形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则多余3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10m３，则按每立方米1．5元收费；若每月用水超过10m３，则超过部分按每立方米３元收费，如果某居民户今去年12月份缴纳了36元水费，那么这户居民去年12月份的实际用水量为（ ）
A．7m３ B．12m３ C．17m３ D．24m３
二、填空题
11．某校三年共购买计算机210台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量是去年的2倍，则前年这个学校购买了 台计算机．
12．爷爷快八十大寿，小明想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑着说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于爷爷的年龄．”则小明爷爷的生日是号
13．有两桶水，甲桶装有a升水，乙桶中的水比甲桶中的水多3升．现将甲桶中水量的倒给乙桶，然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶，我们将上述两个步骤称为一次操作．假定桶足够大，且水不会溢出．
（1）一次操作完成后，若甲、乙两桶中的水共7升，则 ；
（2）两次操作完成后，乙桶中的水为 升（用含a的代数式表示）；
（3）若重复操作2023次，设甲桶中的水量为x升，乙桶中的水量为y升，则 1（填“>”“<”或“=”）．
14．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三：入出七，不足四．问人数、物价各几何？，大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8两，则多了3两；如果每人出7两，则少了4两，问有多少人？该物品价值多少两？若设该物品价值x两，根据题意，可列方程为 ．
15．甲乙两船于、两地相向而行，甲船由到，航速为35千米/时，乙船由到，航速为25千米/时，若甲船先航行2小时，两船在距地120千米处相遇．若设两地的距离为千米，则可列方程为 ．
三、解答题
16．石城是“中国白莲之乡”，某食品加工厂对白莲进行深加工做成即食罐头，需要用白铁皮做罐头盒．已知每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．
(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用______张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成______个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
17．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
18．小明家和小刚家相距28千米，两人约定见面，他们同时从家出发，小明的速度为8千米/时，小刚的速度为6千米/时，小明的爸爸在小明出发30分钟后发现小明忘了带东西，于是就以10千米/时的速度追赶小明，当小明和小刚相遇时，爸爸追上小明了吗？若没有追上，他要想追上小明，速度至少为多少．
19．为响应政府号召，海口市某中学组织学生下乡做公益活动，把一些助农书籍分给某村村民阅读，如果每户分本，则剩余本；如果每户分本，则还缺本这个村有几户村民？
20．【操作发现】如图，现有，，，的矩形卡片各一张，请你在下面的方框内将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面积可以得到一个等式，这个等式是______．
【应用探究】对于一个正整数n，若能找到正整数a，b，使得，则称n为一个“奇妙数”．例如，则3就是一个“奇妙数”．根据“奇妙数”的规定，解决下列问题：
（1）7是不是一个“奇妙数”？为什么？
（2）从1到15这15个正整数中“奇妙数”有哪些
【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有1、、、、…、共60个数字．小王老师要求同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取2个数a、b，然后删去这两个数a和b，同时在黑板上写出与的值相等的数．试求经过59次操作后黑板上剩下的数．
21．如图，点O为数轴原点，，长方形的宽为6单位长度，长为8单位长度．点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，回答下列问题．
(1)点A表示的数为 ，点D表示的数为 ．
(2)t秒后点P对应的数为 （用含t的式子表示）．
(3)当时，求t的值．
(4)如图，在点P运动过程中，在数轴上取点E，点E在点P右侧，线段，以为直角边，E为直角顶点，向上作等腰直角三角形，当与面积和为12时，直接写出t的值．
22．已知数轴上两点对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为．
(1)若点为线段的中点，则点对应的数______；
(2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数的值；
(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点的2倍点．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．出发秒后，点恰好是点的“2倍点”，请求出点第一次是的“2倍点”时的值，并直接写出满足条件的其它值．
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参考答案：
1．A
【分析】设小明家到学校的路程是，根据时间关系找到等量关系，列出方程即可求解．
【详解】设小明家到学校的路程是，则据题意列出的方程是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
2．C
【分析】设分配x名学生做机身，根据一个飞机模型要一个机身配两个机翼，则飞机模型的个数乘以2等于机翼的个数，据此列出一元一次方程即可求解．
【详解】设分配x名学生做机身，则可列方程为,
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意列出一元一次方程即可．
【详解】解：∵某项工作甲单独做3天完成，乙单独做5天完成，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率为．
∵甲先干1天，甲、乙合作了x天，
∴甲工作天，乙工作x天．
∴可列方程．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
4．B
【分析】标价折扣后为售价，利润率乘成本为利润，将各个量表示出来后，根据公式直接求解即可．
【详解】设成本为，打折
标价：
售价：
利润：
即可得：，解得
故选：B
【点睛】此题考查一元一次方程的实际问题，销售问题，解题关键是根据公式直接代值求解．
5．C
【解析】略
6．A
【分析】设他所购书的原价为x元，根据x的取值范围分类讨论，然后根据题意分别列出方程即可求出结论．
【详解】解：设他所购书的原价为x元
当100＜x≤200时，由题意可得：90%x=171
解得：x=190
当x＞200时，由题意可得：80%x=171
解得：x=
综上：他所购书的原价为190元或元．
故选A．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
7．C
【分析】根据图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再结合即可求出的值．
【详解】解：依题意得：,
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据长方形的面积和=正方形的面积列出方程并解答．
【详解】解：由题意，得,
解得．
故选：D．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
9．B
【分析】根据羊的总价不变，列方程即可．
【详解】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
10．C
【分析】先确定用水超过了10m3，然后根据收费标准列方程进行求解即可.
【详解】设12月份用水xm3，
10×1.5=15<36，
所以用水量超过10m3，
所以列方程为：10×1.5+3(x-10)=36，
解得：x=17，
即12月份用水17m3，
故选C.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清用水量与收费标准间的关系，正确列出方程是解题的关键.
11．30
【分析】这个学校前年购买了x台计算机，去年购买的数量是前年的2倍，去年购买的数量是2x，今年购买的数量是去年的2倍，今年购买的数量是2×2x=4x，某校三年共购买计算机210台，是此题等量关系：前年购买计算机台数+去年购买计算机台数+今年购买计算机台数=210．列出方程，解之即可．
【详解】解：设这个学校前年购买了x台计算机，去年购买的数量是2x，今年购买的数量是2×2x=4x，
根据题意得：x+2x+4x=210，
解得：x=30．
答：前年这个学校购买30台计算机．
故答案为：30．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，找到关键描述语“三年共购买计算机210台”，就找到了相应的等量关系．
12．20
【分析】可设小明爷爷的生日日期是x，根据等量关系：在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄80，依此列出方程求解即可．
【详解】解：设小明爷爷的生日日期是x号，则左日期=x-1，右日期=x+1，上日期=x-7，下日期=x+7，
依题意得x-1+x+1+x-7+x+7=80
解得：x=20
故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．此题关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依此列方程．
13． 2 <
【分析】（1）根据题意可得将甲桶中水量的倒给乙桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，再列方程进行计算即可；
（2）由（1）可知一次操作后：甲有水升，乙有水升，再根据题意列代数式即可；
（3）根据题意可知每次操作后甲桶的水小于乙桶的水，即可得出结果．
【详解】解：（1）由题意可得：将甲桶中水量的倒给乙桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，
∴，
解得：，
故答案为：2；
（2）由（1）可知：一次操作后：甲有水升，乙有水升，
再将甲桶中水量的倒给乙桶时，甲有水升，乙有水升，
然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶时，甲有水升，乙有水升，
∴二次操作后，甲有水升，乙有水升，
故答案为：；
（3）由（1）（2）可知一次操作后：甲有水升，乙有水升，甲<乙；
二次操作后，甲有水升，乙有水升，甲<乙；
∵三次操作后：甲有水升，乙有水升，甲<乙；
四次操作后，甲有水升，乙有水升，甲<乙；
五次操作后，甲有水升，乙有水升，甲<乙；
∴重复操作2023次，，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意，找出规律是解题的关键．
14．
【分析】根据人数不变，可以列出方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．
【分析】设两地的距离为千米，根据“甲船先航行2小时，两船在距地120千米处相遇”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设两地的距离为千米，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．(1)4；100
(2)用16张制盒身，20张制盒底
【分析】（1）利用制作盒身所需白铁皮的数量制作盒底的数量，即可求出制作盒身所需白铁皮的数量；利用做成罐头盒的数量制作盒底的数量，即可求出做成罐头盒的数量；
（2）设用张制盒身，则用张制盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（张），
（个）．
故答案为：4；100．
（2）设用张制盒身，则用张制盒底，
依题意得：，
解得：，
．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．边的宽为，天头长为
【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：
解得，
∴，
答：边的宽为，天头长为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
18．爸爸没追上小明，千米/时．
【分析】根据题意，先算出小明和小刚多长时间后相遇，相遇时距离小明家有多远，从而求出小明的爸爸在小明和小刚相遇前跑的距离，由此判断是否能追上，即可解答；
【详解】解：设小明和小刚相遇用了x小时，
则，解得，
所以小明和小刚相遇用了2小时．
设小明的爸爸追赶上小明用了y小时，
则，解得．
小时小时．
所以爸爸没追上小明．
设爸爸的速度至少为a千米时才能追上小明．
则，解得．
答：爸爸的速度至少为千米时才能追上小明．
【点睛】本题考查了一元一次方程在行程问题中追击问题的运用，路程速度时间的运用．根据题意列出方程，求出其解即可．
19．这个村有户村民
【分析】设这个村有户村民，根据助农书籍的数量不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这个村有户村民，
根据题意得：，
解得：．
答：这个村有户村民．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．[操作发现] （答案不唯一）；[应用探究]（1）是，理由见解析；（2）3、5、7、8、9、11、13、14、15；[活动拓展]60
【分析】[操作发现] 利用图形面积写出等式即可；
[应用探究]（1）将7分解为，即可得出答案；
（2）由，可变形为，所以，只要是合数，就是奇妙数；
[活动拓展] 设经过59次操作后，黑板上剩下的数为，则：进而求出的值即可．
【详解】解：[操作发现]
图形不唯一，如图：
；
[应用探究]
（1）7是一个“奇妙数”，理由：；
（2），，，，，，，，，
从1到15这15个正整数中“奇妙数”有3、5、7、8、9、11、13、14、15共9个；
[活动拓展]
，
每次操作前和操作后，黑板上的每个数的乘积不变，
设经过59次操作后，黑板上剩下的数为，则：
解得：，
经过59次操作后黑板上剩下的数是60．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，有理数的混合运算，解题的是要多进行运算，并且理解奇妙数的意义，明白命题者考查的意图．
21．(1)4，12
(2)2t
(3)1或3
(4)或
【分析】（1）判断出，的长，可得结论；
（2）根据路程，速度，时间的关系，可得结论；
（3）两种情形，构建方程求解；
（4）分两种情形：当点F在的左边时，当点F在的右边时，分别构建方程求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点A表示的数为4，点D表示的数为12．
故答案为：4，12；
（2）∵点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，
∴t秒后点P对应的数为．
故答案为：；
（3）由题意得，或，
∴或3；
（4）当点F在的左边时，
，
解得，．
当点F在的右边时，
，
解得，
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的综合，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键．
22．(1)1
(2)点对应的数的值为或5
(3)，点第一次是的“2倍点”时的值为0.6，满足条件的其它的值为、
【分析】（1）根据点到点、点的距离相等，结合数轴可得答案；
（2）两种情况：①当点位于点左侧时，②当点位于点右侧时，列出方程求解即可得到答案；
（3）分三种情况：①当点在线段上，且时，②当点在线段上，且时，③当点在线段的反向延长线上，且时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：点为线段的中点，
，
，
解得：，
故答案为：1；
（2）解：根据题意可得：，若存在点到点、点的距离之和为8，点不可能在线段上，只能在点左侧或点右侧，
①当点位于点左侧时，
，，
由点到点、点的距离之和为8，
可得，
∴，
②当点位于点右侧时，
，，
由点P到点、点的距离之和为8，
可得，
∴；
综上所述，此时点对应的数的值为或5；
（3）解：点、点、点在运动秒时表示的数分别是：
点表示，点表示，点P表示，
分三种情况：
①当点在线段上，且时，
，；
∴可得：，
解得：；
②当点在线段上，且时，
，；
∴可得：，
解得：；
③当点在线段的反向延长线上，且时，
，；
∴可得：，
解得：；
综上所述，点第一次是的“2倍点”时的值为0.6，满足条件的其它的值为、．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，两点之间的距离，解题的关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合的思想列出方程．
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七年级数学上册 第三章
3.4 实际问题与一元一次方程 同步练习题
一、单选题
1．小明从家里骑自行车到学校，如果每小时骑，可按时到达；如果每小时骑，就会迟到5分钟，问小明家到学校的路程是多少？设小明家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某项工作甲单独做3天完成，乙单独做5天完成，若甲先干1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲、乙合作了x天，所列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．某商场将一件玩具按进价提高80%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利26%，则这件玩具销售时打折是（ ）
A．8折 B．7折 C．6折 D．3.3折
5．某球队参加比赛，开局9场保持不败，积21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜（ ）
A．4场 B．5场 C．6场 D．7场
6．阳光书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明同学一次性购书付款171元，那么他所购书的原价为（ ）
A．190元或213.75元 B．213.75元
C．200元 D．190元或200元
7．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．6 D．8
8．将边长为5的正方形分成若干个长方形，如果这若干个长方形恰好能拼成三个宽为1.5，长为a的长方形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则多余3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10m３，则按每立方米1．5元收费；若每月用水超过10m３，则超过部分按每立方米３元收费，如果某居民户今去年12月份缴纳了36元水费，那么这户居民去年12月份的实际用水量为（ ）
A．7m３ B．12m３ C．17m３ D．24m３
二、填空题
11．某校三年共购买计算机210台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量是去年的2倍，则前年这个学校购买了 台计算机．
12．爷爷快八十大寿，小明想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑着说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于爷爷的年龄．”则小明爷爷的生日是号
13．有两桶水，甲桶装有a升水，乙桶中的水比甲桶中的水多3升．现将甲桶中水量的倒给乙桶，然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶，我们将上述两个步骤称为一次操作．假定桶足够大，且水不会溢出．
（1）一次操作完成后，若甲、乙两桶中的水共7升，则 ；
（2）两次操作完成后，乙桶中的水为 升（用含a的代数式表示）；
（3）若重复操作2023次，设甲桶中的水量为x升，乙桶中的水量为y升，则 1（填“>”“<”或“=”）．
14．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三：入出七，不足四．问人数、物价各几何？，大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8两，则多了3两；如果每人出7两，则少了4两，问有多少人？该物品价值多少两？若设该物品价值x两，根据题意，可列方程为 ．
15．甲乙两船于、两地相向而行，甲船由到，航速为35千米/时，乙船由到，航速为25千米/时，若甲船先航行2小时，两船在距地120千米处相遇．若设两地的距离为千米，则可列方程为 ．
三、解答题
16．石城是“中国白莲之乡”，某食品加工厂对白莲进行深加工做成即食罐头，需要用白铁皮做罐头盒．已知每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．
(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用______张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成______个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
17．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
18．小明家和小刚家相距28千米，两人约定见面，他们同时从家出发，小明的速度为8千米/时，小刚的速度为6千米/时，小明的爸爸在小明出发30分钟后发现小明忘了带东西，于是就以10千米/时的速度追赶小明，当小明和小刚相遇时，爸爸追上小明了吗？若没有追上，他要想追上小明，速度至少为多少．
19．为响应政府号召，海口市某中学组织学生下乡做公益活动，把一些助农书籍分给某村村民阅读，如果每户分本，则剩余本；如果每户分本，则还缺本这个村有几户村民？
20．【操作发现】如图，现有，，，的矩形卡片各一张，请你在下面的方框内将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面积可以得到一个等式，这个等式是______．
【应用探究】对于一个正整数n，若能找到正整数a，b，使得，则称n为一个“奇妙数”．例如，则3就是一个“奇妙数”．根据“奇妙数”的规定，解决下列问题：
（1）7是不是一个“奇妙数”？为什么？
（2）从1到15这15个正整数中“奇妙数”有哪些
【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有1、、、、…、共60个数字．小王老师要求同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取2个数a、b，然后删去这两个数a和b，同时在黑板上写出与的值相等的数．试求经过59次操作后黑板上剩下的数．
21．如图，点O为数轴原点，，长方形的宽为6单位长度，长为8单位长度．点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，回答下列问题．
(1)点A表示的数为 ，点D表示的数为 ．
(2)t秒后点P对应的数为 （用含t的式子表示）．
(3)当时，求t的值．
(4)如图，在点P运动过程中，在数轴上取点E，点E在点P右侧，线段，以为直角边，E为直角顶点，向上作等腰直角三角形，当与面积和为12时，直接写出t的值．
22．已知数轴上两点对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为．
(1)若点为线段的中点，则点对应的数______；
(2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数的值；
(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点的2倍点．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．出发秒后，点恰好是点的“2倍点”，请求出点第一次是的“2倍点”时的值，并直接写出满足条件的其它值．
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参考答案：
1．A
【分析】设小明家到学校的路程是，根据时间关系找到等量关系，列出方程即可求解．
【详解】设小明家到学校的路程是，则据题意列出的方程是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
2．C
【分析】设分配x名学生做机身，根据一个飞机模型要一个机身配两个机翼，则飞机模型的个数乘以2等于机翼的个数，据此列出一元一次方程即可求解．
【详解】设分配x名学生做机身，则可列方程为,
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意列出一元一次方程即可．
【详解】解：∵某项工作甲单独做3天完成，乙单独做5天完成，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率为．
∵甲先干1天，甲、乙合作了x天，
∴甲工作天，乙工作x天．
∴可列方程．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
4．B
【分析】标价折扣后为售价，利润率乘成本为利润，将各个量表示出来后，根据公式直接求解即可．
【详解】设成本为，打折
标价：
售价：
利润：
即可得：，解得
故选：B
【点睛】此题考查一元一次方程的实际问题，销售问题，解题关键是根据公式直接代值求解．
5．C
【解析】略
6．A
【分析】设他所购书的原价为x元，根据x的取值范围分类讨论，然后根据题意分别列出方程即可求出结论．
【详解】解：设他所购书的原价为x元
当100＜x≤200时，由题意可得：90%x=171
解得：x=190
当x＞200时，由题意可得：80%x=171
解得：x=
综上：他所购书的原价为190元或元．
故选A．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
7．C
【分析】根据图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再结合即可求出的值．
【详解】解：依题意得：,
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据长方形的面积和=正方形的面积列出方程并解答．
【详解】解：由题意，得,
解得．
故选：D．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
9．B
【分析】根据羊的总价不变，列方程即可．
【详解】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
10．C
【分析】先确定用水超过了10m3，然后根据收费标准列方程进行求解即可.
【详解】设12月份用水xm3，
10×1.5=15<36，
所以用水量超过10m3，
所以列方程为：10×1.5+3(x-10)=36，
解得：x=17，
即12月份用水17m3，
故选C.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清用水量与收费标准间的关系，正确列出方程是解题的关键.
11．30
【分析】这个学校前年购买了x台计算机，去年购买的数量是前年的2倍，去年购买的数量是2x，今年购买的数量是去年的2倍，今年购买的数量是2×2x=4x，某校三年共购买计算机210台，是此题等量关系：前年购买计算机台数+去年购买计算机台数+今年购买计算机台数=210．列出方程，解之即可．
【详解】解：设这个学校前年购买了x台计算机，去年购买的数量是2x，今年购买的数量是2×2x=4x，
根据题意得：x+2x+4x=210，
解得：x=30．
答：前年这个学校购买30台计算机．
故答案为：30．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，找到关键描述语“三年共购买计算机210台”，就找到了相应的等量关系．
12．20
【分析】可设小明爷爷的生日日期是x，根据等量关系：在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄80，依此列出方程求解即可．
【详解】解：设小明爷爷的生日日期是x号，则左日期=x-1，右日期=x+1，上日期=x-7，下日期=x+7，
依题意得x-1+x+1+x-7+x+7=80
解得：x=20
故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．此题关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依此列方程．
13． 2 <
【分析】（1）根据题意可得将甲桶中水量的倒给乙桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，再列方程进行计算即可；
（2）由（1）可知一次操作后：甲有水升，乙有水升，再根据题意列代数式即可；
（3）根据题意可知每次操作后甲桶的水小于乙桶的水，即可得出结果．
【详解】解：（1）由题意可得：将甲桶中水量的倒给乙桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶时，甲桶有水升，乙桶有水升，
∴，
解得：，
故答案为：2；
（2）由（1）可知：一次操作后：甲有水升，乙有水升，
再将甲桶中水量的倒给乙桶时，甲有水升，乙有水升，
然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶时，甲有水升，乙有水升，
∴二次操作后，甲有水升，乙有水升，
故答案为：；
（3）由（1）（2）可知一次操作后：甲有水升，乙有水升，甲<乙；
二次操作后，甲有水升，乙有水升，甲<乙；
∵三次操作后：甲有水升，乙有水升，甲<乙；
四次操作后，甲有水升，乙有水升，甲<乙；
五次操作后，甲有水升，乙有水升，甲<乙；
∴重复操作2023次，，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意，找出规律是解题的关键．
14．
【分析】根据人数不变，可以列出方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．
【分析】设两地的距离为千米，根据“甲船先航行2小时，两船在距地120千米处相遇”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设两地的距离为千米，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．(1)4；100
(2)用16张制盒身，20张制盒底
【分析】（1）利用制作盒身所需白铁皮的数量制作盒底的数量，即可求出制作盒身所需白铁皮的数量；利用做成罐头盒的数量制作盒底的数量，即可求出做成罐头盒的数量；
（2）设用张制盒身，则用张制盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（张），
（个）．
故答案为：4；100．
（2）设用张制盒身，则用张制盒底，
依题意得：，
解得：，
．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．边的宽为，天头长为
【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：
解得，
∴，
答：边的宽为，天头长为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
18．爸爸没追上小明，千米/时．
【分析】根据题意，先算出小明和小刚多长时间后相遇，相遇时距离小明家有多远，从而求出小明的爸爸在小明和小刚相遇前跑的距离，由此判断是否能追上，即可解答；
【详解】解：设小明和小刚相遇用了x小时，
则，解得，
所以小明和小刚相遇用了2小时．
设小明的爸爸追赶上小明用了y小时，
则，解得．
小时小时．
所以爸爸没追上小明．
设爸爸的速度至少为a千米时才能追上小明．
则，解得．
答：爸爸的速度至少为千米时才能追上小明．
【点睛】本题考查了一元一次方程在行程问题中追击问题的运用，路程速度时间的运用．根据题意列出方程，求出其解即可．
19．这个村有户村民
【分析】设这个村有户村民，根据助农书籍的数量不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这个村有户村民，
根据题意得：，
解得：．
答：这个村有户村民．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．[操作发现] （答案不唯一）；[应用探究]（1）是，理由见解析；（2）3、5、7、8、9、11、13、14、15；[活动拓展]60
【分析】[操作发现] 利用图形面积写出等式即可；
[应用探究]（1）将7分解为，即可得出答案；
（2）由，可变形为，所以，只要是合数，就是奇妙数；
[活动拓展] 设经过59次操作后，黑板上剩下的数为，则：进而求出的值即可．
【详解】解：[操作发现]
图形不唯一，如图：
；
[应用探究]
（1）7是一个“奇妙数”，理由：；
（2），，，，，，，，，
从1到15这15个正整数中“奇妙数”有3、5、7、8、9、11、13、14、15共9个；
[活动拓展]
，
每次操作前和操作后，黑板上的每个数的乘积不变，
设经过59次操作后，黑板上剩下的数为，则：
解得：，
经过59次操作后黑板上剩下的数是60．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，有理数的混合运算，解题的是要多进行运算，并且理解奇妙数的意义，明白命题者考查的意图．
21．(1)4，12
(2)2t
(3)1或3
(4)或
【分析】（1）判断出，的长，可得结论；
（2）根据路程，速度，时间的关系，可得结论；
（3）两种情形，构建方程求解；
（4）分两种情形：当点F在的左边时，当点F在的右边时，分别构建方程求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点A表示的数为4，点D表示的数为12．
故答案为：4，12；
（2）∵点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，
∴t秒后点P对应的数为．
故答案为：；
（3）由题意得，或，
∴或3；
（4）当点F在的左边时，
，
解得，．
当点F在的右边时，
，
解得，
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的综合，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键．
22．(1)1
(2)点对应的数的值为或5
(3)，点第一次是的“2倍点”时的值为0.6，满足条件的其它的值为、
【分析】（1）根据点到点、点的距离相等，结合数轴可得答案；
（2）两种情况：①当点位于点左侧时，②当点位于点右侧时，列出方程求解即可得到答案；
（3）分三种情况：①当点在线段上，且时，②当点在线段上，且时，③当点在线段的反向延长线上，且时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：点为线段的中点，
，
，
解得：，
故答案为：1；
（2）解：根据题意可得：，若存在点到点、点的距离之和为8，点不可能在线段上，只能在点左侧或点右侧，
①当点位于点左侧时，
，，
由点到点、点的距离之和为8，
可得，
∴，
②当点位于点右侧时，
，，
由点P到点、点的距离之和为8，
可得，
∴；
综上所述，此时点对应的数的值为或5；
（3）解：点、点、点在运动秒时表示的数分别是：
点表示，点表示，点P表示，
分三种情况：
①当点在线段上，且时，
，；
∴可得：，
解得：；
②当点在线段上，且时，
，；
∴可得：，
解得：；
③当点在线段的反向延长线上，且时，
，；
∴可得：，
解得：；
综上所述，点第一次是的“2倍点”时的值为0.6，满足条件的其它的值为、．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，两点之间的距离，解题的关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合的思想列出方程．
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